[論文レビュー] Positive solutions to an elliptic equation in $\mathbb{R}^N$ of the Kirchhoff type

Yisheng Huang, Zeng Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 2016

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$ℝ^N$ における $N \geq 3$ および $2 < p \leq 4$ の場合に、潜在関数 $V(x)$ に対して弱い条件下で、変分法を用いてキルヒホッフ型楕円型方程式の正の解の存在を確立する。$b > 0$ が小さい場合に解の存在を示し、$N \geq 4$ の場合に $b$ が大きい場合には非存在性を示す。これは、$V(x) \equiv \lambda > 0$ である定数係数の場合にスケーリングを用いて解の構造を包括的に記述し、先行研究を拡張する。結果として、以前の研究で求められていたポホジャエフ型条件の必要性が部分的に解消される。

ABSTRACT

In this paper, we consider the following Kirchhoff type problem $$\left\{\aligned&amp;-\biggl(a + b\int_{\mathbb{R}^N} | abla u|^2 dx \biggr) Δu + V(x) u = |u|^{p-2}u &amp; ext{ in } \mathbb{R}^N,\cr &amp;u\in H^1(\mathbb{R}^N), \endaligned ight. \eqno{(\mathcal{P}_{a,b})} $$ where $N\geq3$, $20$ are parameters and $V(x)$ is a potential function. Under some mild conditions on $V(x)$, we prove that $(\mathcal{P}_{a,b})$ has a positive solution for $b$ small enough by the variational method, a non-existence result is also established in the cases $N\geq4$. Our results in the case $N=3$ partial improve the results in \cite{G15,LY14} and our results in the cases $N\geq4$ are totally new to the best of our knowledge. By combining the scaling technique, we also give a global description on the structure of the positive solutions to the autonomous form of $(\mathcal{P}_{a,b})$, that is $V(x)\equivλ&gt;0$. This result can be seen as a partial complement of the studies in \cite{A12,A13}.

研究の動機と目的

• キルヒホッフ型方程式の $ℝ^N$ における正の解の存在に、ポホジャエフ型条件が必要かどうかを調査すること。
• 特に $b > 0$ が小さい場合に、$V(x)$ に対して弱い条件を課したもとで、$p \in (2,4] \cap (2,2^*)$ の範囲で正の解の存在を確立すること。
• $N \geq 4$ の場合に、$b$ が大きいときの非存在性を示すこと。
• 潜在関数 $V(x) \equiv \lambda > 0$ である定数係数の場合に、スケーリング技術を用いて正の解の構造を包括的に記述すること。

提案手法

• エネルギー汎関数 $\mathcal{J}_V(u)$ を負のネハリ多様体 $\mathcal{N}_V^-$ 上で最小化するための変分法が用いられる。
• エケランの変分原理が適用され、$\mathcal{J}_V(u_n) = m^- + o_n(1)$ および $\mathcal{J}_V'(u_n) = o_n(1)$ を満たすパライス＝スメール列 $\{u_n\}$ が得られる。ここで、$H^{-1}(\mathbb{R}^N)$ 内での収束が保証される。
• 陰関数定理を用いて、十分小さい $l$ に対して $t_n(l)u_n + lw \in \mathcal{N}_V^-$ を満たす $C^1$-曲線 $t_n(l)$ を構成し、摂動解析を可能にする。
• 定数係数問題 $V(x) \equiv \lambda > 0$ に対してスケーリング技術を適用し、正の解の構造を包括的に記述する。
• ネハリ多様体 $\mathcal{N}_V^-$ を用いて、$\mathcal{J}_V$ の臨界点を $\mathcal{J}_V'(u) = 0$ および $\mathcal{J}_V(u) = m^-$ の条件で特徴付ける。
• 事前推定およびヤングの不等式を用いて、$N \geq 4$ で $b$ が大きい場合に矛盾を導出し、非存在性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 キルヒホッフ型問題の $\mathbb{R}^N$ における正の解の存在に、ポホジャエフ型条件が必要かどうか？
• RQ2 $V(x)$ に強いポホジャエフ型条件を課さずに、$p \in (2,4]$ の範囲で正の解を確立できるか？
• RQ3 $V(x) \equiv \lambda > 0$ のとき、正の解の構造はいかなるものか？
• RQ4 $N \geq 4$ の場合に、$b$ が大きいと非自明な解が存在しないか？
• RQ5 スケーリング技術は、定数係数の場合の正の解のグローバルな挙動をどのように記述するのを助けるか？

主な発見

• $N \geq 3$、$2 < p \leq 4$、$V(x)$ が条項 $(V)$ を満たすとき、任意の $a > 0$ および $b < b_*(a)$ に対して正の解が存在する。ここで $b_*(a)$ は $a$ に依存する正の閾値である。
• $N = 3$ の場合、Li と Ye [20]、Guo [9] の先行研究を部分的に改善し、強いポホジャエフ型条件を課さずに $p \in (2,4]$ の範囲で解の存在を拡張する。
• $N \geq 4$ の場合、非存在性の結果が得られた：$b$ が十分に大きいとき、非自明な解は存在しない。これは著者らの知る限り、新規の結果である。
• スケーリング技術により、$V(x) \equiv \lambda > 0$ である定数係数の場合に、正の解集合の完全なグローバル記述が得られ、先行研究 [1, 2] を補完する。
• エネルギー汎関数 $\mathcal{J}_V(u)$ は負のネハリ多様体 $\mathcal{N}_V^-$ 上で下界を達成し、その最小化子は $(\mathcal{P}_{a,b})$ の正の解である。
• $N \geq 4$ の場合、非存在性は不等式 $b\mathfrak{A}_u^2 - C_2 b^{-2^*/(4-2^*)} \geq 0$ から導かれるが、$\mathfrak{A}_u$ の成長および $2^* < 4$ の指数のため、$b$ が大きい場合には成立しない。