[論文レビュー] Potential automorphy and change of weight

Thomas Barnet-Lamb, Toby Gee+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 13, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 24被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、$l$-進表現における「潜在的対角化可能性」の条件を導入することで、$l$ における重みの変更を可能にする、新しい自己形式性上昇定理を確立する。主な結果は、全実体上の完全に非可約で、完全に奇数的、本質的に自己双対的、正則的弱い整合性を持つ系が、潜在的に自己形式的であることを示しており、それらの$L$関数のメロモルフィックな延長と関数等式の成立を保証する。

ABSTRACT

We prove a new automorphy lifting theorem for l-adic representations where we impose a new condition at l, which we call `potential diagonalizability'. This result allows for `change of weight' and seems to be substantially more flexible than previous theorems along the same lines. We derive several applications. For instance we show that any irreducible, odd, essentially self-dual, regular, weakly compatible system of l-adic representations of the absolute Galois group of a totally real field is potentially automorphic, and hence is pure and its L-function has meromorphic continuation to the whole complex plane and satisfies the expected functional equation.

研究の動機と目的

• $l$-進ガロア表現における重みの変更を許容する一般の自己形式性上昇定理の開発を目的とする。
• 従来の定理の制限を克服するため、$l$ における「潜在的対角化可能性」という新しい局所的条件を導入し、ホッジ＝テイト重みの柔軟性を実現する。
• 全実体上での正則的、本質的に自己双対的、完全に奇数的で、整合的な$l$-進表現系が潜在的に自己形式的であることを証明する。
• 特殊な場合（例：対称べき）に限らない、次元$>2$の一般の整合的系への潜在的自己形式性結果の拡張を目的とする。
• 自己形式性を用いて、このような系の$L$関数のメロモルフィックな延長と関数等式の確立を達成する。

提案手法

• 自己形式性上昇定理における新しい局所的条件として、$l$ における「潜在的対角化可能性」の概念を導入する。
• モレ・ベイユの補題を用いて、$F$ の有限ガロア全実拡大$F'$ 上に、モジュロ$l$還元$ olinebreak[4]\overline{r}_\lambda$ をそのコホロロジーに実現するモチーフ$X$ を構成する。
• $X$ のモジュロ$l'$コホロロジーが、ある特徴から誘導されることを保証し、$F'$ 上での自己形式的誘導を可能にする。
• 自己形式性上昇定理を2段階で適用する：まず、$l'$-進コホロロジーを$l'$-進自己形式性へ上昇させ、次に、重み変更を許容する第二の上昇定理を用いて$l$-進表現$r_\lambda$ を上昇させる。
• クラス体論と局所的特徴の上昇（補題A.2.4を用いて）を活用し、所定の局所的条件を満たす整合的ヘッケ特徴を構成する。
• ホッジ＝テイト数が連続的（例：$0,1,\dots,n-1$）であるという事実を活用し、異なるホッジ型を持つモチーフの構成が、グリフィスの横断性によって妨げられないことを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自己形式性上昇定理は、通常型や正則的重みのケースを超えて、$l$-進表現における重みの変更を許容するように拡張可能だろうか？
• RQ2 高次に分岐する拡大体上に、異なるホッジ数と大きなモノドロミーを持つモチーフを構成し、モジュロ$l$ガロア表現を実現することは可能だろうか？
• RQ3 $l$ における「潜在的対角化可能性」の条件は、通常型やシュタインバーグ型といった強い局所的条件を置き換えることができるだろうか？
• RQ4 特別な例（例：対称べき）に縛られない、一般の整合的$l$-進表現系（次元$>2$）が、どの程度まで潜在的に自己形式的であると示せるだろうか？
• RQ5 正則的、自己双対的、完全に奇数的という性質を持つ弱い整合的$l$-進表現系が存在する場合、それが有限拡大上で自己形式的であると結論づけられるだろうか？

主な発見

• 本稿は、$l$ における「潜在的対角化可能性」の条件を導入することで、重みの変更を許容する新しい自己形式性上昇定理を確立した。
• 全実体上に存在する任意の完全に非可約で、完全に奇数的、本質的に自己双対的、正則的、弱い整合性を持つ$l$-進表現系は、有限ガロア拡大を経て潜在的に自己形式的になる。
• このような系の$L$関数は、複素平面全体にメロモルフィックに延長され、期待される関数等式を満たす。
• 本手法により、対称べきのような特殊ケースに限らない、次元が2より大きい一般の整合的系に対しても自己形式性の結果を得られる。
• 連続するホッジ数と大きなモノドロミーを持つモチーフの構成は、モレ・ベイユの補題とクラス体論によって可能であり、これに依存している。
• 本結果は、異なる重みのモジュラー形式からの$l$-進表現のテンソル積に対しても適用可能であり、それらの$L$関数がメロモルフィックに延長されることを示している。