[論文レビュー] Preferential Attachment and Vertex Arrival Times

Benjamin Bloem-Reddy, Peter Orbanz|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2017

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 37被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、頂点の次数と頂点の到着時刻を明示的にモデル化した一般化された優先的付加モデルを導入し、ベータおよびガンマ確率変数を用いたスティック・ブレイキング表現が得られる。主な貢献は、漸近的次数分布が「左に中立な」系列として特徴づけられ、特定の到着時刻過程およびバイアスパラメータの条件下でパワー則が出現することである。

ABSTRACT

We study preferential attachment mechanisms in random graphs that are parameterized by (i) a constant bias affecting the degree-biased distribution on the vertex set and (ii) the distribution of times at which new vertices are created by the model. The class of random graphs so defined admits a representation theorem reminiscent of residual allocation, or "stick-breaking" schemes. We characterize how the vertex arrival times affect the asymptotic degree distribution, and relate the latter to neutral-to-the-left processes. Our random graphs generate edges "one end at a time", which sets up a one-to-one correspondence between random graphs and random partitions of natural numbers; via this map, our representation induces a result on (not necessarily exchangeable) random partitions that generalizes a theorem of Griffiths and Spanó. A number of examples clarify how the class intersects with several known random graph models.

研究の動機と目的

• 定数バイアスパラメータ α と頂点の確率的到着時刻 T によって制御されるランダムグラフモデルを形式化すること。
• そのようなグラフの漸近的次数分布を特徴づけ、それを「左に中立な」確率過程および確率的分割に関連付けること。
• 時間依存の頂点到着によって誘導される非交換可能な分割を許容することで、既存の交換可能な確率的分割およびポリアの壺に関する結果を一般化すること。
• 多重グラフと整数分割の間の一対一対応を確立し、グラフ理論的結果を分割理論的結果に翻訳可能にする。
• バラバーシ・アレクサンダー型やエッジ交換可能なグラフなどの既知のモデルにおける極限次数分布の結果を統一的枠組みで回復および拡張すること。

提案手法

• 頂点到着時刻 T が与えられたり確率的である (α,T)-グラフを導入し、付加確率が (deg_k - α) に比例するように設定する。ここで α ∈ (−∞,1) とする。
• 独立なベータおよびガンマ確率変数を用いたスティック・ブレイキング表現を導出し、残差割当構成を一般化する。
• 多重グラフと整数分割の間の双対写像 Φ を確立し、結果の転送を可能にする。
• この表現を用いて、(α,T)-グラフにおける極限次数が、特定の分布的恒等式を満たす「左に中立な」系列として分布することを示す。
• i.i.d. 間隔到着時間および幾何的到着時間の両方を含む、異なる到着時刻過程における次数系列の漸近的挙動を分析する。
• 移民付きポリアの壺と関連づけ、壺の構成の新たな極限分布を導出し、Peköz らの研究における未解決問題を解消する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定数バイアス α と確率的到着時刻 T の相互作用が、優先的付加グラフにおける漸近的次数分布にどのように影響を与えるか。
• RQ2 (α,T)-グラフが誘導する分割 Φ⁻¹(G) はどのような確率的分割のクラスを形成するか。これは交換可能なギブズ分割をどのように一般化するか。
• RQ3 到着時刻過程 T がどのような条件下で次数分布にパワー則を示し、スパarsity とどのように関連するか。
• RQ4 間隔到着時間が i.i.d. 幾何分布に従う場合、移民付きポリアの壺における壺の構成の極限分布はどのように特徴づけられるか。
• RQ5 提案された枠組みは、バラバーシ・アレクサンダー型、エッジ交換可能なグラフ、およびユール＝シモン過程といった既知のモデルをどのように統一的または拡張するか。

主な発見

• (α,T)-グラフの極限次数系列は、ベータおよびガンマ混合を含む特定の分布的恒等式を満たす「左に中立な」確率変数の系列である。
• 間隔到着時間がパラメータ β について i.i.d. 幾何分布に従う場合、移民付きポリアの壺における白玉の極限割合は、確率的に確率変数 𝒟 = 𝒷_{w,b} 𝒷_{w+b, (w+b−1)β/(1−β)} 𝒶_{1−β, w+b−1} に分布する。
• 極限次数分布がパワー則を示すのは、平均次数が無限大に発散する場合に限る。これは、到着過程がバイアスパラメータ α に対して十分に密度が高い場合に成立する。
• 独立なベータおよびガンマ確率変数による (α,T)-グラフの表現は、確率的分割のスティック・ブレイキング構成を一般化し、グリフィスズおよびスパノの結果を非交換可能な分割へと拡張する。
• 本モデルは、エッジ交換可能なグラフおよびユール＝シモン過程の既知の結果を特別な場合として回復する。後者は幾何的間隔到着時間と α = 0 に対応する。
• 新しい分布的恒等式 ξ_{w,w+b} 𝒢_{w+b}^{1−β} =d 𝒢_w が確立され、Peköz, Röllin, および Ross が提起したポリアの壺における幾何的移民付きの未解決問題を解消する。