[論文レビュー] Primitive Divisors, Dynamical Zsigmondy Sets, and Vojta's Conjecture

Joseph H. Silverman|arXiv (Cornell University)|Sep 16, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 18被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、算術的力学の文脈において原始的除因子とツィグモンディ集合を調査し、切り捨てられた数え上げ関数を用いたヴォイタの予想を用いて、原始的除因子を持たない軌道の点の集合が、周囲の代数的多様体においてザリスキ・dürftでないことを示している。特定の幾何学的および算術的条件下——例えば、自己準同型の次数制限、除因子の次数制限、および正則性と交差の正則性——の下で、ツィグモンディ集合が有限または適切な部分多様体に含まれることが示された。

ABSTRACT

A primitive prime divisor of an element a_n of a sequence (a_1,a_2,a_3,...) is a prime P that divides a_n, but does not divide a_m for all m < n. The Zsigmondy set Z of the sequence is the set of n such that a_n has no primitive prime divisors. Let f : X --> X be a self-morphism of a variety, let D be an effective divisor on X, and let P be a point of X, all defined over the algebraic closure of Q. We consider the Zsigmondy set Z(X,f,P,D) of the sequence defined by the arithmetic intersection of the f-orbit of P with D. Under various assumptions on X, f, D, and P, we use Vojta's conjecture with truncated counting function to prove that the set of points f^n(P) with n in Z(X,f,P,D) is not Zariski dense in X.

研究の動機と目的

• 代数的多様体上の力学系から生じる列における原始的除因子の分布を理解すること。
• 算術的力学の文脈において、原始的素因数が存在しないインデックスであるツィグモンディ集合の構造を調査すること。
• 算術幾何における深い予想を用いて、原始的除因子を持たない軌道点の集合の有限性またはザリスキ・dürftでない性質を確立すること。
• ヴォイタの予想を用いて、古典的なツィグモンディ型結果を高次元の力学系へと拡張すること。
• 代数的多様体内の補数次元が補完的なサイクルにおける原始的除因子の振る舞いを探索すること。

提案手法

• 軌道の点の算術的複雑性を制御するために、切り捨てられた数え上げ関数を用いたヴォイタの予想を基礎仮説として用いる。
• Zsigmondy集合 ${\mathcal{Z}}(X,f,P,D)$ を、$f^n(P)$ が除因子 $D$ に対して原始的素因数を持たないインデックス $n$ の集合として定義する。
• 幾何的技法を適用：軌道点の素数 $\mathfrak{p}$ に関する還元と、その還元が $\widetilde{D}$ との交わりを調べる。
• 自己準同型 $f$、除因子 $D$、多様体 $X$ に制約を課す——例えば、$d \geq 3$、交差の正則性、正則性——により、交わりイデアルの必要な増大を保証する。
• ヴォイタの予想からの予想的な不等式を用いて、$n \in {\mathcal{Z}}$ であるような点 $f^n(P)$ の集合がザリスキ・dürftでないことを示す問題に還元する。
• 補数次元が補完的な部分多様体の列 $\xi_n$ と $\eta_n$ に対してフレームワークを一般化し、$\mod \mathfrak{p}$ での交わりを用いて、新たな原始的除因子の概念を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で、力学的軌道のツィグモンディ集合がザリスキ・dürftでないか？
• RQ2 切り捨てられた数え上げ関数を用いたヴォイタの予想は、高次元の力学系におけるツィグモンディ集合の有限性または疎らかさを示すために用いられるか？
• RQ3 固定された除因子との交わりによって定義される列における原始的除因子の振る舞いはいかなるものか？
• RQ4 補数次元が補完的な動的変化する部分多様体と固定された部分多様体との交わりを考慮した場合、ツィグモンディ集合は有限か？
• RQ5 自己準同型および除因子の次数が、原始的除因子の存在を制御するために果たす役割は何か？

主な発見

• ヴォイタの予想（切り捨てられた数え上げ関数を用いて）の下で、集合 $\{f^n(P) : n \in {\mathcal{Z}}(X,f,P,D)\}$ は $X$ においてザリスキ・dürftでない。
• $f: \mathbb{P}^N \to \mathbb{P}^N$ を次数 $d \geq 3$ とする。$F$ を次数 $\deg(F) > (N+1)(1 + 1/(d-2))$ である同次多項式とする。このとき、$F(f^n(P))$ のツィグモンディ集合に対して、対応する軌道点はザリスキ・dürftでない。
• ツィグモンディ集合 $\mathcal{Z}(\mathcal{O}_f(P), D)$ は、$Y \subsetneq X_K$ である適切な閉部分多様体に含まれる、有限個の点を除いて。
• この結果は、$\operatorname{rank}\operatorname{NS}(X_K) = 1$、$\widehat{h}_{f,H}(P) > 0$、および $\deg(D_K) > \frac{d-1}{d-2} \cdot \deg(-\kappa_X)$ の仮定の下で成り立つ。
• 部分多様体の列 $\xi_n = f^n(\xi)$ と固定された $\eta$（補数次元が補完的）に対して、ツィグモンディ集合 $\mathcal{Z}(\mathcal{X}, \mathcal{N})$ は、適切な力学的非退化条件の下で有限であると予想される。
• この手法は、動的系における高さの指数的増大に依存しており、これは群に基づく列とは異なり、$n$ 番目の項が以前の項を支配するのを可能にする。群の列では成長は多項式的である。