[論文レビュー] Principal eigenvalues of fully nonlinear integro-differential elliptic equations with a drift term

Alexander Quaas, Ariel Salort+1 more|arXiv (Cornell University)|May 31, 2016

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 30被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、Krein-Rutman定理と粘性解の境界正則性を用いて、ドリフト項を含む完全非線形積分微分楕円型方程式に対する主固有値の存在および単純性を確立する。主固有値が孤立しており、それに応じる固有関数はスケーリングを除き一意であることが示され、$ s \in (1/2,1) $ の条件下で、有界な $ C^2 $ 領域における非局所的で非発散型の作用素へのスペクトル理論が拡張される。

ABSTRACT

We study existence of principal eigenvalues of fully nonlinear integro-differential elliptic equations with a drift term via the Krein-Rutman theorem which based on regularity up to boundary of viscosity solutions. We also show the simplicity of the eigenfunctions in viscosity sense by a nonlocal version of ABP estimate.

研究の動機と目的

• 有界領域における非局所的で完全非線形楕円型作用素にドリフト項を含む場合のスペクトル理論の欠如に対処する。
• コンパクト性およびKrein-Rutman定理を用いて、Dirichlet境界条件を満たす作用素 $-I$ に対する主固有値の存在を確立する。
• スペクトル解析を扱うために、粘性解の境界に沿った $C^\alpha$ 正則性を証明する。
• 非局所的ABP推定を用いて、粘性解の意味での固有関数の単純性を証明する。
• 主固有値を絶対値が最小で、スケーリングを除き一意であると特徴付ける。

提案手法

• 非局所作用素 $-I$ の逆から導かれるコンパクトで正で同次な作用素にKrein-Rutman定理を適用する。
• 境界付近における最大Pucci作用素の推定を用いて、粘性解の境界に沿った $C^\alpha$ 正則性を確立する。
• アレクサンドロフ＝バクレマン＝プーシー（ABP）推定の非局所版を用いて、固有関数の単純性を証明する。
• 粘性不等式を満たす関数の上界として主固有値 $\lambda_1^+(I,\Omega)$ および $\lambda_1^-(I,\Omega)$ を定義する。
• 非局所作用素の適切な定義と固有関数の可積分性を保証するため、重み $\omega_s$ を用いた重み付き $L^1$ 空間を用いる。
• 境界 $\Omega$ 外で消える連続関数の適切なバナッハ空間におけるコンパクト性の議論を用いて、固有関数を抽出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全非線形積分微分方程式にドリフト項を含む場合、どのような条件下で主固有値が存在するか？
• RQ2 Krein-Rutman定理は非局所的で非発散型作用素にドリフト項を含む場合にどのように適合されるか？
• RQ3 粘性解の境界正則性が非局所作用素のスペクトル解析において果たす役割は何か？
• RQ4 非局所方程式において、粘性解の意味での固有関数の単純性はどのように証明されるか？
• RQ5 方程式の放物型版における解の漸近的挙動は、主固有値をどのように規定するか？

主な発見

• 任意の有界な $C^2$ 領域 $\Omega$ および $s \in (1/2,1)$ の下で、主固有値 $\lambda_1^+(I,\Omega)$ は存在し、有限である。
• 正の固有関数 $\phi^+ \in C(\overline{\Omega}) \cap L^1(\omega_s)$ が存在し、$\Omega$ 内で $-I\phi^+ = \lambda_1^+(I,\Omega)\phi^+$ を満たし、$\mathbb{R}^n \setminus \Omega$ で $\phi^+ = 0$ である。
• 非局所ABP推定を用いて、固有関数 $\phi^+$ は正の定数倍を除き一意であることが証明された。
• 主固有値 $\lambda_1^+(I,\Omega)$ は、作用素 $-I$ のすべての固有値の中で絶対値が最小である。
• 放物型問題における対数的減衰推定では、すべての $\lambda < \lambda_1(\Omega)$ に対して $\sup_{\Omega} |h(x,t)| = o(e^{-\lambda t})$ が成り立ち、これは主固有値によって支配される指数的減衰率を示している。
• 命題7.3では、$\sup_{\Omega \times (0,\infty)} \frac{h(x,t)}{v(x)e^{-\lambda t}} \leq \sup_{\Omega} \frac{h_0^+(x)}{v(x)}$ が示され、解が主固有値に対応する指数的減衰率で、最大でもその速度で減衰することを示している。