[論文レビュー] Problems, Questions, and Conjectures about Mapping Class Groups

Dan Margalit|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2018

Geometric and Algebraic Topology参考文献 90被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、線形性、合同部分群、コhomology、擬アイソメトリックなストレッチ要因、トーリー部分群、正規部分群を含む、写像類群理論における未解決問題と予想を体系的にまとめている。 Lawrence–Krammer 型の構成による忠実な線形表現に関する新しい問題を提起し、ストレッチ要因が小さい写像類群の構造およびすべての擬アイソメトリックな表面部分群の構造を検討することで、幾何的群論および低次元位相幾何学分野における継続的な研究に貢献している。

ABSTRACT

We discuss a number of open problems about mapping class groups of surfaces. In particular, we discuss problems related to linearity, congruence subgroups, cohomology, pseudo-Anosov stretch factors, Torelli subgroups, and normal subgroups.

研究の動機と目的

• 基礎的な研究と最近の進展から、写像類群理論における未解決問題の選別されたリストをまとめ、提示すること。
• 特に一般化された Lawrence–Krammer 表現を通じて、写像類群の線形性を調査すること。
• ストレッチ要因が小さい写像類群の構造および有限性に関する性質を調査すること。
• 写像類群におけるすべての擬アイソメトリックな表面部分群の存在および性質を検討すること。
• 擬アイソメトリックな要素の分解に関する予想および、写像類群から導かれる特定の 3 次元多様体不変量の有限性を扱うこと。

提案手法

• 写像類群 $\operatorname{Mod}(S_g)$ の $k$ 番目の Lawrence 表現を、$S_g$ 上の $k$ 個の点の配置空間の普遍アーベル被覆のホモロジーへの作用として定義する。
• バナッハ群における Lawrence–Krammer 表現の忠実性に類似した事例を援用し、写像類群における忠実性の動機を提示する。
• Kontsevich が提案した線形表現族（忠実であると予想されている）を写像類群に応用する。
• ファイバー化された 3 次元多様体理論とモノドロミー力学を用いて、ストレッチ要因およびその漸近的挙動を分析する。
• Johnson のフィルトレーションおよび配置空間の compactly supported コホモロジーを用いて、トーリー部分群と合同部分群を研究する。
• 擬アイソメトリックな要素の正規閉包およびそれが拡張トーリー群と関係する可能性を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の $k \geq 1$ に対して、$\operatorname{Mod}(S_g)$ の $k$ 番目の Lawrence 表現は忠実か？
• RQ2 $g \geq 2$ のとき、$\operatorname{Mod}(S_g)$ にすべての擬アイソメトリックな表面部分群を含むか？
• RQ3 $g\log\lambda < C$ を満たす擬アイソメトリック写像類群から生じる 3 次元多様体 $M_f^\circ$ の集合 $\Omega_C$ の最小非ゼロ濃度は何か？
• RQ4 ストレッチ要因 $\lambda$ を持つすべての擬アイソメトリック写像類群が、有限位数要素と複雑さが有界な可約要素の積に分解可能か？
• RQ5 写像類群 $\operatorname{Mod}(S_g)$ 内の擬アイソメトリック要素の正規閉包が拡張トーリー群になり得るか？

主な発見

• $\operatorname{Mod}(S_g)$ の $k$ 番目の Lawrence 表現は、バナッハ群における Lawrence–Krammer 表現の忠実性に由来する、忠実な線形表現の候補である。
• $g \geq 3$ の場合、$\operatorname{Mod}(S_g)$ の線形性は未解決であるが、$g = 2$ の場合、バナッハ群の線形性により既に知られている。
• 集合 $\Omega_C = \{M_f^\circ \mid f \in P_C\}$ は、$P_C$ を $g\log\lambda < C$ を満たす擬アイソメトリック写像類群の集合とするとき、有限である。
• 対称性予想は、ストレッチ要因が小さい任意の擬アイソメトリック要素が、複雑さが $g$ に依存しない有界な可約要素と有限位数要素の積に分解可能であると述べている。
• Leininger は、ストレッチ要因が $3/2$ 未満の場合、その要素が周期的かつ可約な要素の積に分解可能であることを示しており、対称性予想に対する部分的な証拠を提供している。
• Bowditch, Groves, および Sapir の結果により、各 $g$ に対して、すべての擬アイソメトリックな表面部分群の共役類は高々有限個である。