[論文レビュー] Product between ultrafilters and applications to the Connes' embedding problem

Valerio Capraro, Liviu Păunescu|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2009

Advanced Operator Algebra Research参考文献 12被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、コンヌの埋め込み問題を解決するために、超フィルター間の新しい積演算を導入する。超フィルターの積を用いることで、超線形群の超積が再び超線形であることを示し、非可算個の生成元を持つ自由群のヴァン・ネウマン代数が $ R^\omega $ に埋め込まれることを証明する。また、プロフィニート作用による超線形群の交叉積も $ R^\omega $ に埋め込めることが示され、超線形対を用いた超線形性の新たな特徴づけが得られる。

ABSTRACT

In this paper we want to apply the notion of product between ultrafilters to answer several questions which arise around the Connes' embedding problem. For instance, we will give a simplification and generalization of a theorem by Radulescu; we will prove that ultraproduct of hyperlinear groups is still hyperlinear and consequently the von Neumann algebra of the free group with uncountable many generators is embeddable into $R^ω$. This follows also from a general construction that allows, starting from an hyperlinear group, to find a family of hyperlinear groups. We will introduce the notion of hyperlinear pair and we will use it to give some other characterizations of hyperlinearity. We will prove also that the cross product of a hyperlinear group via a profinite action is embeddable into $R^ω$.

研究の動機と目的

• 演算代数における超フィルター間の新しい積演算を導入することで、コンヌの埋め込み問題を解決すること。
• 超フィルター積を用いて、ラドゥレスクの超線形群に関する定理を一般化・簡略化すること。
• 超線形群の超積が再び超線形であること、および $ L(\mathbb{F}_{\aleph_c}) $ が $ R^\omega $ に埋め込まれることを証明すること。
• 超線形対の概念を導入し、$ R^\omega $ のトレースを用いた超線形性の新たな特徴づけを提供すること。
• プロフィニート作用による超線形群の交叉積が $ R^\omega $ に埋め込めるかどうかを示すこと。

提案手法

• 反復極限を用いて、$ I \times J $ 上の超フィルター $ \mathcal{U} \otimes \mathcal{V} $ のテンソル積を定義する：$ X \in \mathcal{U} \otimes \mathcal{V} $ であるとは、$ \{i \in I : \{j \in J : (i,j) \in X\} \in \mathcal{V} \} \in \mathcal{U} $ であることを意味する。
• 反復極限と結合極限の間の交換性 $ \lim_{i \to \mathcal{U}} \lim_{j \to \mathcal{V}} x_i^j = \lim_{(i,j) \to \mathcal{U} \otimes \mathcal{V}} x_i^j $ を用いて、極限の順序を入れ替える。
• 中心的対 $ (G_n, \varphi_n) $ の超積を $ \Pi_\omega (G_n, \varphi_n) = (\Pi_n G_n / N, \lim_\omega \varphi_n) $ と定義する。ここで $ N = \{(g_n) : \lim_\omega \varphi_n(g_n) = 1\} $ である。
• 超線形対 $ (G, \varphi) $ を、$ \ast $-準同型 $ \theta_\varphi: G \to U(R^\omega) $ が存在して $ \tau(\theta_\varphi(g)) = \varphi(g) $ を満たす中心的対として定義する。
• $ (R^\omega)^{\omega'} \cong R^{\omega \otimes \omega'} $ の同型を用いて、超積の下で $ R^\omega $ への埋め込みを転送する。
• プロフィニート作用を用いて、$ L^\infty(X) \rtimes_\alpha G $ を有限次元交叉積の和集合に分解し、それぞれが $ R^\omega $ に埋め込めるようにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 超フィルターの積を用いることで、超線形群やコンヌの埋め込み問題に関する既存の結果を簡略化または一般化できるか？
• RQ2 超線形群の超積自体が超線形であるか？ そしてこれは $ L(\mathbb{F}_{\aleph_c}) $ が $ R^\omega $ に埋め込めるということに何を意味するか？
• RQ3 超線形対の概念は、標準的な定義を超えて、超線形性の新たな特徴づけを提供できるか？
• RQ4 作用 $ \alpha $ がプロフィニート作用であるとき、交叉積 $ L^\infty(X) \rtimes_\alpha G $ が $ R^\omega $ に埋め込める条件は何か？
• RQ5 任意の形の群 $ G(\omega, \mathcal{I}) $ は、所定の関係を持つ群の族の超積として実現可能か？

主な発見

• 超積の下でトレース条件が保存されることを示す同型 $ (R^\omega)^{\omega'} \cong R^{\omega \otimes \omega'} $ を用いて、超線形群の超積が超線形であることが証明された。
• 非可算個の生成元を持つ自由群 $ \mathbb{F}_{\aleph_c} $ は超線形であり、そのヴァン・ネウマン代数 $ L(\mathbb{F}_{\aleph_c}) $ は $ R^\omega $ に埋め込まれる。
• 超線形対の超積 $ \Pi_\omega (G_n, \varphi_n) $ は再び超線形対であり、トレース条件が超極限の下で保存される。
• 群 $ G $ が超線形であり、作用 $ \alpha $ がプロフィニート作用である限り、交叉積 $ L^\infty(X) \rtimes_\alpha G $ は $ R^\omega $ に埋め込める。
• $ R^\omega $ の非分離性は、非可算超線形群の存在によって強化され、この非分離性はコンヌの埋め込み予想が成立する上で本質的である。