[論文レビュー] Products and push-forwards in parametrised cohomology theories

Robert Waldmuller|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 24被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$E_\infty$-オペラッド作用を備えた基底空間 $B$ 上の安定パラメトライズドホモトピー圏に、対称モノイダル構造を構成し、乗法的パラメトライズドコホモロジー理論の構築を可能にする。また、ねじれK理論と$Spin^c$-cobordismが、$BPU \cong K(\mathbb{Z},3)$ 上のパラメトライズド環スペクトルとして実現可能であり、セクションの積を通じてねじれの加法が正しく追跡される明示的な乗法的構造が与えられる。

ABSTRACT

We define a symmetric monoidal structure on the parametrised stable homotopy category over a base space with an action of an $E_\infty$ operad. We discuss products, orientations and push-forwards in parametrised cohomology theories corresponding to parametrised ring spectra. Finally, we construct parametrised ring spectra representing twisted K-theory and twisted Spinc-cobordism.

研究の動機と目的

• 基底空間 $B$ に $E_\infty$-オペラッド作用が存在する場合、安定パラメトライズドホモトピー圏 $Ho\mathcal{S}_B$ に対称モノイダル構造を定義すること。
• ねじれクラスのカップ積がねじれの加法を正しくモデル化するような乗法的パラメトライズドコホモロジー理論を構築すること。
• $H^3$-ねじれK理論を $BPU \cong K(\mathbb{Z},3)$ 上のパラメトライズド環スペクトルとして実現すること。
• $PU$-作用と整合するパラメトライズド $MSpin^c$-スケールを構成することで、フレームワークを $Spin^c$-cobordism に拡張すること。
• パラメトライズド方向 $\beta$ が、コホモロジー理論のレベルで古典的な $MSpin^c \to K$ 方向を誘導することを確立すること。

提案手法

• 基底空間 $B$ における $E_\infty$-作用を用いて、$Ho\mathcal{S}_B$ に対称モノイダル構造 $\underline{p}$ を導入し、セクションの積がねじれの加法を尊重することを保証する。
• $BPU$ 上のパラメトライズド $K$-スケール $\mathcal{E}_{K}$ を $EPU \times_{PU} Fred(\mathbf{H})$ として構成し、ファイバーを $Fred(\mathbf{H})$ とし、共役による $PU$-作用を備える。
• ex-スケール $\mathcal{M}_{Spin^c}$ の構造写像を、表現 $\varrho(V)$ を用いたチョン空間 $Th(\mathbf{U}^{0}_{H(V)} \times_{Spin^c(V)} V)$ を用いて定義する。
• ex-スケール $\mathcal{M}_{Spin^c}$ に、$\mathcal{P}$-代数構造と整合する $PU$-作用を備え、等変性を保証する。
• パラメトライズド方向 $\beta = 1 \times \alpha$ を、$\mathcal{M}_{Spin^c}$ から $\mathcal{K}$ への $PU$-等変写像として $\mathcal{P}$-スケールの間の写像として定義する。
• 随伴性とホモトピー単位を用いて、図式内のホモトピー同値 $\psi_1$ と $\psi_2$ を構成し、パラメトライズド方向の整合性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 基底空間 $B$ が $E_\infty$-オペラッド作用を備えるとき、安定パラメトライズドホモトピー圏 $Ho\mathcal{S}_B$ にどのように対称モノイダル構造を定義できるか？
• RQ2 カップ積によるねじれの加法を正しくモデル化するような、乗法的パラメトライズドコホモロジー理論をどのように構築できるか？
• RQ3 $H^3$-ねじれK理論が、$BPU \cong K(\mathbb{Z},3)$ 上の明確に定義された乗法的構造を備えたパラメトライズド環スペクトルとして表現可能か？
• RQ4 $PU$-作用と整合する自然なパラメトライズド $MSpin^c$-スケールが $BPU$ 上に存在するか？
• RQ5 パラメトライズド方向 $\beta$ が、コホモロジー理論のレベルで古典的な $MSpin^c \to K$ 方向を誘導するか？

主な発見

• 基底空間 $B$ に $E_\infty$-オペラッド作用が存在する場合、$Ho\mathcal{S}_B$ に対称モノイダル構造 $\underline{p}$ が構成され、パラメトライズドコホモロジー理論における乗法的構造の構築が可能になる。
• $BPU$ 上のパラメトライズド $K$-スケール $\mathcal{E}_{K}$ がパラメトライズド環スペクトルであることが示され、$H^3$-ねじれK理論が乗法的理論として実現される。
• パラメトライズド方向 $\beta: \mathcal{M}_{Spin^c} \to \mathcal{K}$ が、$PU$-等変写像としての $\mathcal{P}$-スケールの間の写像として構成され、古典的な $MSpin^c \to K$ 方向を誘導する。
• ex-スケール $\mathcal{M}_{Spin^c}$ が、$BPU$ 上のパラメトライズド環スペクトルであることが証明され、$PU$-作用と整合する構造写像がチョン空間を用いて定義される。
• カップ積により $\alpha$-ねじれクラスと $\beta$-ねじれクラスの積を取ると、$(\alpha + \beta)$-ねじれクラスが得られ、ねじれの加法が正しくモデル化される。
• $\psi_1$ と $\psi_2$ のホモトピー同値の証明は、パス空間上への同型の拡張と、$EPU$ のゲージ群の連結性に依存する。