[論文レビュー] Products and sums divisible by central binomial coefficients

Zhi‐Wei Sun|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2010

Advanced Mathematical Identities参考文献 20被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、中心二項係数とカタラン数を含む新しい可除性性質を確立し、$4(2n+1)\binom{2n}{n}$ が二項係数の累乗の重み付き和を割り切ることを証明する。WZ法と組み合わせ的恒等式を用いて、$1/\pi$ のラマヌジャン型級数に関連する数列の合同式および母関数に関する可除性結果と予想を導出する。主な貢献は、超幾何級数やゼータ関数の特別値と関連する、新しい算術的可除性定理のクラスの確立である。

ABSTRACT

In this paper we initiate the study of products and sums divisible by central binomial coefficients. We show that 2(2n+1)binom(2n,n)| binom(6n,3n)binom(3n,n) for every n=1,2,3,... Also, for any nonnegative integers $k$ and $n$ we have $$\binom {2k}k | \binom{4n+2k+2}{2n+k+1}\binom{2n+k+1}{2k}\binom{2n-k+1}n$$ and $$\binom{2k}k | (2n+1)\binom{2n}nC_{n+k}\binom{n+k+1}{2k},$$ where $C_m$ denotes the Catalan number $\binom{2m}m/(m+1)=\binom{2m}m-\binom{2m}{m+1}$. Applying this result we obtain two sums divisible by central binomial coefficients.

研究の動機と目的

• 中心二項係数 $\binom{2n}{n}$ とカタラン数 $C_n$ を含む新しい可除性結果を確立すること。
• $4(2n+1)\binom{2n}{n}$ が $\sum_{k=0}^{n}(4k+1)\binom{2k}{k}^3(-64)^{n-k}$ および $\sum_{k=0}^{n}(20k+3)\binom{2k}{k}^2\binom{4k}{2k}(-2^{10})^{n-k}$ の形の特定の和を割り切ることを証明すること。
• $S_n = \frac{\binom{6n}{3n}\binom{3n}{n}}{2(2n+1)\binom{2n}{n}}$ の数列の算術的性質を調査し、その母関数および予想される $p$-進性および偶奇性の性質を検討すること。
• $S_n$ および補助的な数列 $T_n$ の $p$-進合同式に関する予想を提示・検討し、それらを超幾何級数およびゼータ関数の値と関連付けること。

提案手法

• WZ（ウィルフ＝ザイレッバー）法を用いて可除性を証明し、再帰関係とテレスコーピング恒等式を用いる。
• $p$-進付値の分析と床関数および分数部分を含む補助的不等式を用いて、和の可除性を評価する。
• 数列 $S_n$ と $T_n$ を定義し、その母関数を導出する：$|x| < 1/108$ に対して $\sum_{k=0}^\infty S_k x^k = \frac{\sin(\frac{2}{3}\arcsin(6\sqrt{3x}))}{8\sqrt{3x}}$。
• 記号計算（Mathematica）を用いて、$S_k$ および $T_k$ を含む無限級数の閉形式を導出する。たとえば $\sum_{k=0}^\infty \frac{S_k}{108^k} = \frac{3\sqrt{3}}{8}$ が得られる。
• WZ法を用いて、$1/\pi$ のラマヌジャン型級数に関連する恒等式を検証する。これには $\sum \binom{2k}{k}^3 / (-64)^k$ および $\sum \binom{2k}{k}^2\binom{4k}{2k} / (-2^{10})^k$ を含む。
• $S_n$ および $T_n$ の $p$-進合同式に関する予想を提示する。たとえば、素数 $p > 3$ に対して $S_p \equiv 15 - 30p + 60p^2 \pmod{p^3}$ および $T_p \equiv -2 \pmod{p}$ が成り立つと予想される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての正の整数 $n$ に対して、$4(2n+1)\binom{2n}{n}$ は和 $\sum_{k=0}^{n}(4k+1)\binom{2k}{k}^3(-64)^{n-k}$ を割り切るか？
• RQ2 $\binom{2k}{k} \mid \binom{4n+2k+2}{2n+k+1}\binom{2n+k+1}{2k}\binom{2n-k+1}{n}$ の可除性は、組み合わせ的証明または $p$-進解析を用いて示せるか？
• RQ3 $S_n = \frac{\binom{6n}{3n}\binom{3n}{n}}{2(2n+1)\binom{2n}{n}}$ の算術的構造は何か？ これは組み合わせ的解釈または再帰的関係をもつのか？
• RQ4 $S_n$ および $T_n$ の予想される $p$-進合同式、たとえば $p \equiv \pm 1 \pmod{12}$ のとき $\sum_{k=1}^{p-1} \frac{S_k}{108^k} \equiv 0 \pmod{p}$ が成り立つか？
• RQ5 $\{S_n\}$ の閉形式母関数は存在するか？ そして、$\zeta(3)$ や $1/\pi$ の新しい級数を導出するために使用できるか？

主な発見

• 本稿は、$4(2n+1)\binom{2n}{n}$ が和 $\sum_{k=0}^{n}(4k+1)\binom{2k}{k}^3(-64)^{n-k}$ を割り切ることを証明し、[S10b] における予想を確認した。
• また、$4(2n+1)\binom{2n}{n}$ が $\sum_{k=0}^{n}(20k+3)\binom{2k}{k}^2\binom{4k}{2k}(-2^{10})^{n-k}$ を割り切ることを証明し、既知のラマヌジャン型恒等式を拡張した。
• $S_n$ の母関数は $0 < x < 1/108$ に対して $\sum_{k=0}^\infty S_k x^k = \frac{\sin(\frac{2}{3}\arcsin(6\sqrt{3x}))}{8\sqrt{3x}}$ として導出され、$\sum_{k=0}^\infty \frac{S_k}{108^k} = \frac{3\sqrt{3}}{8}$ が成り立つ。
• $S_n$ は奇素数 $p$ に対して $S_p \equiv 15 - 30p + 60p^2 \pmod{p^3}$ を満たし、$n$ が2のべきであるときに限り奇数であると予想されている。
• 補助的な数列 $T_n$ は、$|x| \leq 1/(6\sqrt{3})$ に対して $\sum_{k=0}^\infty S_k x^{2k+1} + \frac{1}{24} - \sum_{k=1}^\infty T_k x^{2k} = \frac{\cos(\frac{2}{3}\arccos(6\sqrt{3}x))}{12}$ を満たすと予想され、素数 $p$ に対して $T_p \equiv -2 \pmod{p}$ が成り立つ。
• 本稿は、奇素数 $p \neq 3$ に対して $\sum_{k=0}^{(p-1)/2}(205k^2+160k+32)(-1)^k\binom{2k}{k}^5 \equiv 32p^2 + \frac{896}{3}p^5 B_{p-3} \pmod{p^6}$ が成り立つと予想し、ベルヌーイ数と関連付ける。