[論文レビュー] Profinite iterated monodromy groups arising from quadratic morphisms with infinite postcritical orbits

Richard Pink|arXiv (Cornell University)|Sep 23, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 5被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、特徴量 ≠ 2 の体上での無限後臨界軌道を有する二次有理写像から生じるプロフィニート反復モノドロミー群を分類する。自己同相似群論およびガロア表現を用いて、幾何的モノドロミー群が、後臨界軌道の組合せ型にのみ依存する再帰的に定義された部分群 $ G(r) $ に共役であることを示し、ハウスドルフ次元は $ 1 - 2^{-r} $ である。また、ガロア作用と正規化子構造を用いて、算術的モノドロミー群を完全に特徴づける。

ABSTRACT

We study in detail the profinite group G arising as geometric étale iterated monodromy group of an arbitrary quadratic morphism f with an infinite postcritical orbit over a field of characteristic different from two. This is a self-similar closed subgroup of the group of automorphisms of a regular rooted binary tree. In many cases it is equal to the automorphism group of the tree, but there remain some interesting cases where it is not. In these cases we prove that the conjugacy class of G depends only on the combinatorial type of the postcritical orbit of f. We also determine the Hausdorff dimension and the normalizer of G. This result is then used to describe the arithmetic étale iterated monodromy group of f. The methods used mostly group theoretical and of the same type as in a previous article of the same author dealing with quadratic polynomials with a finite postcritical orbit. The results on abstract self-similar profinite groups acting on a regular rooted binary tree may be of independent interest.

研究の動機と目的

• 特徴量 ≠ 2 の体上での無限後臨界軌道を有する二次自己準同型写像の幾何的および算術的エタール反復モノドロミー群を分類すること。
• 幾何的モノドロミー群が正則根付き2進木の全自己同型群に等しいか、それとも真の部分群に等しいかを特定すること。
• 幾何的モノドロミー群の共役類が、後臨界軌道の組合せ型にのみ依存することを示すこと。
• 幾何的モノドロミー群のハウスドルフ次元および正規化子を計算すること。
• ガロア作用を用いて算術的モノドロミー群を記述し、幾何的群に対するその指数を特定すること。

提案手法

• 自己同相似なプロフィニート群論を用いて、正則根付き2進木の自己同型群 $ \mathrm{Aut}(T) $ の再帰的に生成される部分群 $ G(r) $ を定義・分析する。
• 共役、正規化子の計算、部分群の包含関係といった群論的技法を用いて、$ G(r) $ の構造を分析する。
• 生成子の再帰的関係を活用：各生成子 $ b_p $ は、$ p $ の前像構造に応じて $ (b_q, 1) $、$ (b_q, b_{q'}) $、または $ \sigma $ の積に共役される。
• 無限生成子積が $ \mathrm{Aut}(T) $ 内で恒等元に収束することを用い、群構造における重要な制約条件とする。
• 特殊化および基底変換技法を用いて、関数体上のモノドロミー群と数体または有限体上のそれとを関連付ける。
• ガロアコhomologyおよび自然な準同型 $ \mathrm{Gal}(\bar{k}/k) \to G^{\mathrm{arith}}/G^{\mathrm{geom}} $ を用いて、算術的モノドロミー群を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特徴量 ≠ 2 の体上での無限後臨界軌道を有する二次自己準同型写像に対して、幾何的反復モノドロミー群が正則根付き2進木の全自己同型群に等しいのはいつか？
• RQ2 幾何的モノドロミー群の共役類は、後臨界軌道の組合せ的構造にどのように依存するか？
• RQ3 幾何的モノドロミー群が全自己同型群でない場合、そのハウスドルフ次元は何か？
• RQ4 臨界点が基本体上で有理的でない場合、算術的モノドロミー群と幾何的モノドロミー群の関係は何か？
• RQ5 有理点上の前像木のモノドロミー群は、幾何的モノドロミー群を用いて有界化可能か？

主な発見

• すべての $ r \geq 1 $ に対して $ f^{r+1}(p_0) \neq f^{r+1}(q_0) $ が成り立つならば、$ G^{\mathrm{geom}} = G^{\mathrm{arith}} = \mathrm{Aut}(T) $ であり、木の全自己同型群である。
• そうでない場合、$ f^{r+1}(p_0) = f^{r+1}(q_0) $ を満たす最小の $ r \geq 1 $ に対して、幾何的モノドロミー群 $ G^{\mathrm{geom}} $ は再帰的に定義された部分群 $ G(r) \subset \mathrm{Aut}(T) $ に共役であり、これは $ r $ のみに依存する。
• $ G(r) $ のハウスドルフ次元は $ 1 - 2^{-r} $ であり、これは $ \mathrm{Aut}(T) $ 内でのそのサイズを正確に測る定量的指標である。
• $ \mathrm{Aut}(T) $ 内での $ G(r) $ の正規化子は明示的に計算され、$ G(r) $ が共役に関して自己同相似的かつ半剛性であることが示された。
• 臨界点が $ k $ 上に定義されているならば $ G^{\mathrm{arith}} = G^{\mathrm{geom}} $ であるが、そうでない場合は $ G^{\mathrm{arith}} $ は $ G^{\mathrm{geom}} $ の指数2の拡張であり、追加の明示的要素によって生成される。
• 任意の有理点 $ x' \in \mathbb{P}^1(k') \setminus P $ に対して、モノドロミー群 $ G_{x'} $ は $ G(r) $ の共役に含まれ、ある $ w \in \mathrm{Aut}(T) $ に対して $ [G^{\mathrm{arith}} : G^{\mathrm{arith}} \cap wG(r)w^{-1}] < \infty $ が成り立つ。