[論文レビュー] Projective twists in A-infinity categories

Richard M. Harris|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、$A_\infty$-圏における$\mathbb{C}\mathbb{P}^n$-対象の概念を導入し、導来圏$D\mathcal{A}$上で自己同値を誘導する$A_\infty$-ファンクター$\Phi_V$を構成する。主な結果は、$n=1$の場合に$\Phi_V$が、関係式$\tau_V^2 = \phi_V$とシーゼルの球面的ねじれに関する結果を用いて、シンプレクティック射影ねじれ$\phi_V$に対応することの証明である。

ABSTRACT

Given a Lagrangian V \cong CP^n in a symplectic manifold (M,ω), there is an associated symplectomorphism ϕ_V of M. We define the notion of a CP^n-object in an A-infinity-category A and use this to construct algebraically an A-infinity-functor Φ_V and prove that it induces an autoequivalence of the derived category DA. We conjecture that Φ_V corresponds to the action of ϕ_V and prove this in the lowest dimension n=1. The construction is designed to be mirror to a construction of Huybrechts and Thomas.

研究の動機と目的

• $A_\infty$-圏$\mathcal{A}$における$\mathbb{C}\mathbb{P}^n$-対象を定義し、シンプレクティック射影ねじれの背後にある代数的構造を一般化する。
• そのような対象から、導来圏$D\mathcal{A}$上で自己同値を誘導する$A_\infty$-ファンクター$\Phi_V$を構成する。
• $\Phi_V$が、シンプレクティック多様体内のラグランジュ部分多様体$V \cong \mathbb{C}\mathbb{P}^n$に付随するシンプレクティック射影ねじれ$\phi_V$に対応するとの予想を提示する。
• $n=1$の最小次元で、関係式$\tau_V^2 = \phi_V$と既知の球面的ねじれに関する結果を用いて、その予想を検証する。
• $\Phi_V$が、代数的構造が明確に定義されていても、フォイカビカテゴリに幾何的代表元を持たないことがあることを示す。

提案手法

• $\mathcal{A}$を三角的$A_\infty$-圏とするとき、そのコホロロジーが$H^*(\mathbb{C}\mathbb{P}^n; \mathbb{K})$に一致し、特定の$A_\infty$-構造条件を満たすことで、$\mathbb{C}\mathbb{P}^n$-対象を定義する。
• $\mathbb{C}\mathbb{P}^n$-対象の$A_\infty$-構造を用いて、$\mathbb{P}^n$-対象のヒューブレヒツ＝トーマスの構成に従い、$A_\infty$-ファンクター$\Phi_V$を構成する。
• $\Phi_V$が導来圏$D\mathcal{A}$上で自己同値を誘導することを示すため、ねじれた複体を用いて定義されるねじれファンクターと同型であることを証明する。
• $Aut^c(M,\omega)/Ham(M,\omega)$における関係式$\tau_V^2 = \phi_V$を用いて、予想を$\Phi_V$と$T_V^2$が$D\mathcal{F}(M,\omega)$上で同型なファンクターであることを示すことに還元する。
• $V \cong \mathbb{C}\mathbb{P}^1$の非自明な被覆に伴う双被覆$\pi: \widetilde{M} \to M$に沿ったフォイカビカテゴリへの引き戻しファンクターを適用し、$\Phi_V$の幾何的実現可能性を分析する。
• Floerコホモロジーのランクと包絡型フォイカビカテゴリのイデムポテンス完備化を用いて、$\widetilde{V} \to \widetilde{V}[1] \to \pi^{-1}(Y)$というねじれた複体の引き戻しが、デッキ変換によって得られる対象の直和と同型でないことを示し、非実現性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シンプレクティック多様体内のラグランジュ部分多様体$V \cong \mathbb{C}\mathbb{P}^n$に付随するシンプレクティック射影ねじれ$\phi_V$は、フォイカビカテゴリにおける$A_\infty$-ファンクターによって代数的に実現可能か？
• RQ2 $\mathbb{C}\mathbb{P}^n$-対象から構成された$A_\infty$-ファンクター$\Phi_V$は、導来圏$D\mathcal{A}$上で自己同値を誘導するか？
• RQ3 $n=1$の場合に、代数的ファンクター$\Phi_V$がシンプレクティック射影ねじれ$\phi_V$と同値であるか。その同値性は、既知の球面的ねじれに関する結果からどのように導かれるか？
• RQ4 $\Phi_V$は、フォイカビカテゴリにおいてシンプレクティック同相の像として幾何的に実現可能か、それとも、幾何的代表元を持たない場合があるか？
• RQ5 $A_\infty$-圏$\mathcal{A}$にどのような条件を課すと、$\Phi_V$が正しく定義され、自己同値を誘導するようになるか？

主な発見

• $\mathbb{C}\mathbb{P}^n$-対象から構成された$A_\infty$-ファンクター$\Phi_V$は、第4節で示されたように、導来圏$D\mathcal{A}$上で自己同値を誘導する。
• $n=1$の場合に、$\Phi_V$がシンプレクティック射影ねじれ$\phi_V$に対応することの予想は、関係式$\tau_V^2 = \phi_V$とシーゼルの球面的ねじれに関する結果を用いて検証された。
• 双被覆$\pi: \widetilde{M} \to M$に沿ったねじれた複体$V \to V[1] \to Y$の引き戻しは、$\widetilde{V} \to \widetilde{V}[1] \to \pi^{-1}(Y)$という複体となり、これは$\widetilde{V}$のデッキ変換によって得られる対象の任意の直和と quasi-isomorphic でない。
• このことは、ねじれた複体$\widetilde{V} \to \widetilde{V}[1] \to \pi^{-1}(Y)$が、幾何的ラグランジュ部分多様体の引き戻しとして得られないと示しており、したがって$\Phi_V$はフォイカビカテゴリに幾何的代表元を持たない。
• この構成は、ヒューブレヒツとトーマスの$\mathbb{P}^n$-対象に関する研究に従っており、代数的およびシンプレクティック的ねじれファンクターの鏡像的関係を確立する。
• この議論は任意の係数体$\mathbb{K}$に対して成り立ち、相対的にスピンなラグランジュ部分多様体に対しても有効であり、これは偶数$n$の場合を含む。