[論文レビュー] Projectively equivariant symbol calculus

Pierre Lecomte, Valentin Ovsienko|ArXiv.org|Sep 11, 1998

Advanced Topics in AlgebraMathematics参考文献 16被引用数 20

ひとこと要約

本稿では、sl(n+1,R)の作用に関して不変である、λ-密度上の微分作用素の空間と余接 bundle 上の多項式関数の空間の間の一意的（正規化を除く）同型写像を構成する射影的不変な記号計算を導入する。主な結果として、この同型写像は、平坦な射影的構造を持つ多様体上での標準的量子化写像を提供し、微分作用素の商モジュールの分類および sl(n+1,R)-不変なスター積へとつながる。

ABSTRACT

The spaces of linear differential operators on ${\mathbb{R}}^n$ acting on tensor densities of degree $λ$ and the space of functions on $T^*{\mathbb{R}}^n$ which are polynomial on the fibers are not isomorphic as modules over the Lie algebra $\Vect({\mathbb{R}}^n)$ of vector fields on ${\mathbb{R}}^n$. However, these modules are isomorphic as $sl(n+1,{\mathbb{R}})$-modules where $sl(n+1,{\mathbb{R}})\subset \Vect({\mathbb{R}}^n)$ is the Lie algebra of infinitesimal projective transformations. In addition, such an $sl_{n+1}$-equivariant bijection is unique (up to normalization). This leads to a notion of projectively equivariant quantization and symbol calculus for a manifold endowed with a (flat) projective structure. We apply the $sl_{n+1}$-equivariant symbol map to study the $\Vect(M)$-modules of linear differential operators acting on tensor densities, for an arbitrary manifold $M$.

研究の動機と目的

• λ-密度上の微分作用素と余接 bundle 上の多項式関数の間の、sl(n+1,R)-不変な記号写像を構成すること。
• Diff(M) の対称性をより小さい射影的対称群 SL(n+1,R) に制限することにより、自然な量子化写像の欠如を解決すること。
• sl(n+1,R)-不変な記号写像を用いて、k−ℓ≥2 のときの D^k_λ(M)/D^ℓ_λ(M) の商モジュールを分類すること。
• このような不変写像が必ず局所的かつ微分的であることを示し、したがって微分作用素によって与えられることを示すこと。
• 変形量子化を用いて、T*M 上の 1 パrameter の sl(n+1,R)-不変スター積を定義するための構成を拡張すること。

提案手法

• λ-密度の空間と T*R^n 上の多項式関数の空間を定義し、sl(n+1,R)-加群として同型であることを示す。
• 表現論と無限小射影的変換の作用を用いて、sl(n+1,R)-不変な記号写像 σ_λ: D^k_λ(R^n) → Pol^k(T*R^n) を構成する。
• sl(n+1,R) の作用の下でのモジュールの既約成分を分析することにより、正規化を除いて記号写像の一意性を証明する。
• R*⋉R^n のアフィン群による不変性に起因して、Pol(T*R^n) 上の任意の sl(n+1,R)-不変線形写像が微分的であることを示すことにより、記号写像の局所性を確立する。
• 量子化写像を ℏ^k でスケーリングすることにより、Pol(T*M) 上にスター積 ⋆_ħ を定義し、形式的変形量子化を得る。
• k−ℓ≥2 の場合に、商モジュールに関連する H^1(Vect(M), Hom(S^k, S^{k−ℓ})) のコホロジー類を計算し、非自明な変形が存在することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 微分作用素の空間と余接 bundle 上の多項式関数の空間との間で、大きな対称群に関して不変な自然な量子化写像を定義できるか？
• RQ2 微分作用素のモジュールと多項式記号のモジュールが同型となるような最大の対称群は存在するか？
• RQ3 k−ℓ≥2 のとき、D^k_λ(M)/D^ℓ_λ(M) の商モジュールの構造は何か？ そして、記号の空間はどのように変形されるか？
• RQ4 sl(n+1,R)-不変性は、記号写像が局所的かつ微分的であることを強制するか？
• RQ5 sl(n+1,R)-不変な記号写像を用いて、T*M 上に射影的変換に関して不変なスター積を構成できるか？

主な発見

• D_λ(R^n) と Pol(T*R^n) は sl(n+1,R)-加群として同型であり、この同型写像は正規化を除いて一意的である。
• sl(n+1,R)-不変な記号写像は、必然的に局所的であり、微分作用素によって与えられる。これは、微分写像であることを示唆する。
• k−ℓ≥2 のとき、商モジュール D^k_λ(M)/D^ℓ_λ(M) は、記号モジュールの非自明な変形であり、H^1(Vect(M), Hom(S^k, S^{k−ℓ})) に属するコホロジー類が明示的に計算されている。
• この構成により、変形量子化を用いて T*M 上に 1 パrameter の sl(n+1,R)-不変スター積の族が得られ、1次項はポisson括弧である。
• 記号写像は、任意の (平坦な) 射影的構造を持つ多様体 M 上で、射影的座標変換に関して不変な局所的公式により、グローバルに正しく定義される。
• λ=1/2 かつ k−ℓ=2 の場合、商モジュールは例外的であり、非自明な変形を生じない。他の場合とは明確に区別される。