[論文レビュー] Propagation of Gibbsianness for infinite-dimensional diffusions with space-time interaction

Sylvie Rœlly, Wioletta M. Ruszel|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2013

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 12被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、ドリフトが非マルコフ的で有界である場合でさえも、空間時間相互作用を伴う無限次元拡散過程におけるギブス性の伝播を確立する。時間に一様なクラスタ展開を用いてギルサノフ因子を制御し、自由ダイナミクスの指数的混合性を活用することで、初期状態およびダイナミクスの相互作用強度に適切なバウンドが与えられた下で、時間発展した測度が絶対可summableな相互作用を持つギブス測度のままであることを証明する。

ABSTRACT

We consider infinite-dimensional diffusions where the interaction between the coordinates has a finite extent both in space and time. In particular, it is not supposed to be smooth or Markov. The initial state of the system is Gibbs, given by a strong summable interaction. If the strongness of this initial interaction is lower than a suitable level, and if the dynamical interaction is bounded from above in a right way, we prove that the law of the diffusion at any time t is a Gibbs measure with absolutely summable interaction. The main tool is a cluster expansion in space uniformly in time of the Girsanov factor coming from the dynamics and exponential ergodicity of the free dynamics to an equilibrium product measure.

研究の動機と目的

• 空間時間相互作用を伴う無限次元拡散過程の時間発展測度がギブス的である条件を確立すること。
• 確率的系における既知の病理である非マルコフ的ダイナミクスによるギブス性の崩壊を扱うこと。
• 勾配構造を持たない、非マルコフ的ドリフトにまでギブス性の伝播に関する既存結果を拡張すること。
• 有限時間記憶を持つ、小さな非マルコフ的ドリフトを伴う無限次元スデの構成的存在結果をクラスタ展開を用いて得ること。
• 平面ローター系におけるギブス性の保存を、非マルコフ的ダイナミクスにまで一般化すること。

提案手法

• 時間に一様な空間におけるクラスタ展開を用いて、ダイナミクスに起因するギルサノフ因子を制御する。
• 相互作用なしの自由ダイナミクスの指数的混合性を、参考となる積測度に適用し、速やかな収束を保証する。
• 初期相互作用の強いsummability条件と空間時間ドリフトの有界性を課すことにより、クラスタ展開の収束を保証する。
• 自由ダイナミクスと関連する半群の超収縮性（特にコンパクトな場合、例：平面ローター）を用いる。
• ギルサノフ密度における非有界な局所的相互作用関数の制御に、クラスタ展開に基づく摂動的アプローチを用いる。
• 円周のコンパクト性とそれに伴うより強い混合性特性を活用して、平面ローターの状況にこの手法を適応する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非マルコフ的空間時間相互作用を伴う無限次元拡散過程の時間発展測度がギブス測度のままである条件は何か？
• RQ2 ドリフトが勾配構造を持たず、マルコフ的構造を持たない場合でも、ギブス性の伝播が保たれるか？
• RQ3 勾配構造が存在しない状況で、非有界な確率積分を含むギルサノフ因子はどのように制御できるか？
• RQ4 相互作用の時間的記憶構造が、ギブス性の崩壊または保存に果たす役割は何か？
• RQ5 この手法は、非マルコフ的ドリフトを伴うコンパクト状態空間（例：円周＝平面ローター）へ拡張可能か？

主な発見

• 初期ギブス測度の逆温度β₀ < β̄₀およびダイナミクス相互作用強度β < β̄の下で、任意のt ≥ 0における時間発展測度は、絶対可summableな相互作用を持つギブス測度である。
• 時間に一様な空間クラスタ展開により、非有界かつ局所的に定義されない相互作用関数の制御が可能であり、ギルサノフ因子に対しても成功した。
• 自由ダイナミクスの指数的混合性により、平衡への速やかな収束が保証され、クラスタ展開の収束に不可欠である。
• 本手法は、有限時間記憶を持つ勾配構造を持たない非マルコフ的ドリフト（例：過去状態の時間積分を含むもの）にも適用可能である。
• 平面ローターへの一般化も成立：同様のバウンドβ ≤ β̄およびβ₀ ≤ β̄₀の下で、時間発展測度は依然としてギブス的で、絶対可summableな相互作用を持つ。
• 有限次元近似のクラスタ展開極限を用いて、小さな非マルコフ的ドリフトを伴う無限次元スデの構成的存在結果が得られた。