[論文レビュー] Properties of Some Classes of Structured Tensors

Yisheng Song, Liqun Qi|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2014

Tensor decomposition and applications参考文献 34被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、P、P₀、B、B₀行列の概念を高次テンソルへ拡張し、対称なP（P₀）テンソルが正定（半正定）テンソルと同値であることを確立した。また、このようなテンソルの主部分テンソルがそのクラスに属し続けることを証明し、最適化、非線形補完問題、非負テンソル理論と関連づけ、将来のテンソル解析におけるアルゴリズム的・理論的発展の基盤を提供する。

ABSTRACT

In this paper, we extend some classes of structured matrices to higher order tensors. We discuss their relationships with positive semi-definite tensors and some other structured tensors. We show that every principal sub-tensor of such a structured tensor is still a structured tensor in the same class, with a lower dimension. The potential links of such structured tensors with optimization, nonlinear equations, nonlinear complementarity problems, variational inequalities and the nonnegative tensor theory are also discussed.

研究の動機と目的

• 構造的行列（P、P₀、B、B₀）の理論を高次テンソルへ拡張すること。
• P/P₀テンソルと正定（半正定）テンソルとの関係を調査すること。
• 特に主部分テンソル作用におけるこれらのテンソルの構造的性質を探索すること。
• 最適化、非線形補完問題、非負テンソル理論ととの関係を確立すること。
• 未解決問題を特定し、テンソル解析および応用分野における将来の研究を導くこと。

提案手法

• 非ゼロのxに対してx_i (Ax)_iの最大値および非負性条件を用いてPおよびP₀テンソルを定義する。
• 一般テンソルにおける固有値概念（H-、Z-固有値）を拡張し、対称性および奇数次制約下での挙動を分析する。
• P（P₀）テンソルの任意の主部分テンソルが、同じクラスに属することを証明する。
• BおよびB₀テンソルをB行列の拡張として導入し、Z-テンソルが対角優勢であることは、かつはB₀テンソルであることの必要十分条件であることを示す。
• スペクトル理論およびテンソル分解を用いて、対称および非対称設定における正定性および定性を分析する。
• 構造的およびスペクトル的性質を通じて、テンソルクラスを最適化問題、非線形方程式、変分不等式と関連づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 PおよびP₀行列は自然に高次テンソルへ拡張可能か？ もし可能であれば、正定（半正定）テンソルとどのように関係するか？
• RQ2 すべての対称P（P₀）テンソルは正定（半正定）テンソルと同値であるか？ 奇数次テンソルにおいてはどのような意味を持つのか？
• RQ3 奇数次対称Pテンソルは存在するか？ とりわけZ-固有値に関してそのスペクトル的性質は？
• RQ4 BおよびB₀テンソルは対角優勢であるか？ M-テンソルおよびラプラシアンテンソルとどのように関係するか？
• RQ5 非負B（B₀）テンソルと完全正定テンソルまたは正定半正定テンソルとの関係は？

主な発見

• 対称テンソルがP（P₀）テンソルであることと、正定（半正定）テンソルであることとは同値であり、両者の概念の直接的な同等性を確立した。
• P（P₀）テンソルの任意の主部分テンソルは、次元が低いP（P₀）テンソルとして依然として同じクラスに属し、構造的整合性が保たれる。
• 奇数次対称Pテンソルは存在せず、奇数次非対称PテンソルはZ-固有値を持たない。
• 奇数次P₀テンソルは非ゼロのZ-固有値を持たず、強いスペクトル的制約が示された。
• Z-テンソルが対角優勢であることと、B₀テンソルであることとは同値であり、このクラスのチェック可能な条件が得られた。
• 本稿では未解決の問題と将来の研究方向性を特定し、スペクトルアルゴリズムおよび非負テンソル理論との関連を含む。