[論文レビュー] Properties of the solution set of generalized polynomial complementarity problems

Liyun Ling, Chen Ling+1 more|arXiv (Cornell University)|May 2, 2019

Tensor decomposition and applications参考文献 34被引用数 9

ひとこと要約

本稿は一般化多項式補完問題（GPCP）を導入し、テンソル補完問題（TCP）と多項式補完問題（PCP）を統一的に拡張するフレームワークを提示する。テンソル構造を活用し、ER-テンソルペア条件を導入することで、非空かつコンパクトな解集合を確立し、既存のTCPおよびPCP文脈における結果を改善するグローバルリプシッツ型誤差境界を導出する。

ABSTRACT

In this paper, we consider the {\it generalized polynomial complementarity problem} (GPCP), which covers the recently introduced {\it polynomial complementarity problem} (PCP) and the well studied {\it tensor complementarity problem} (TCP) as special cases. By exploiting the structure of tensors, we first show that the solution set of GPCPs is nonempty and compact when a pair of leading tensors is cone {\bf ER}. Then, we study some topological properties of the solution set of GPCPs under the condition that the leading tensor pair is cone ${\bf R}_0$. Finally, we study a notable global Lipschitzian error bound of the solution set of GPCPs, which is better than the results obtained in the current PCPs and TCPs literature. Moreover, such an error bound is potentially helpful for finding and analyzing numerical solutions to the problem under consideration.

研究の動機と目的

• TCPとPCPを一般化する一般化多項式補完問題（GPCP）の統一的フレームワークの構築を目的とする。
• 構造的テンソル条件の下での解集合の存在性および位相的構造の解明を目的とする。
• 既存のTCPおよびPCP文脈における結果を上回る、より緊密なグローバルリプシッツ型誤差境界をGPCPに対して確立することを目的とする。
• ER-テンソル性質を活用して、解集合が非空かつコンパクトとなる条件を提供することを目的とする。
• TCPおよびPCPの理論的結果を、多項式写像を伴う補完問題のより広範なクラスへと拡張することを目的とする。

提案手法

• テンソル係数によって定義される2つの多項式写像F(x)とG(x)を用いて、GPCPを一般補完問題（GCP）の特別な場合として形式化する。
• 主テンソルペア(A^(1), B^(1))を定義し、解集合の非空性およびコンパクト性を保証するためのER-テンソルペア条件を導入する。
• R0-テンソルおよびER-テンソルの概念を用いて、錐条件の下での解集合の位相的性質を分析する。
• 残差関数r(x) = ||F(x)|| + ||G(x)|| + ||F(x) ⊙ G(x)||を定義し、グローバル誤差境界としての役割を果たす。
• ER-テンソルおよび正定値性条件の下で、漸近的挙動と背理法を用いた解析により、グローバルリプシッツ誤差境界を確立する。
• 既存のTCPおよびPCP文脈における結果（例：ER-テンソルは非空かつコンパクトな解集合をもたらす）を活用し、主要定理を強化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 GPCPの解集合が非空かつコンパクトであるための条件は何か？
• RQ2 主テンソルペアの性質がGPCPの解集合の位相的性質にどのように影響するか？
• RQ3 既存のTCPおよびPCP文脈における結果を上回る、より緊密なグローバルリプシッツ型誤差境界をGPCPに対して確立できるか？
• RQ4 主テンソルの構造（例：ER-テンソル、正定値）が解集合の正則性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 与えられた条件下で、残差関数r(x)がGPCPのグローバル誤差境界としてどのように機能するか？

主な発見

• 主テンソルペア(A^(1), B^(1))がER-テンソルペアである限り、GPCP(Λ, a, Θ, b, K)の解集合は非空かつコンパクトである。
• 主テンソルペアがER-テンソルペアであり、かつm = lであるか、またはA^(1)とB^(1)のうち次数が高い方のテンソルが正定値である場合、グローバルリプシッツ型誤差境界r(x)が確立される。
• m > lであり、A^(1)が厳密に非負である場合、Fおよび解集合に関する追加条件が満たされれば、r(x)は依然としてグローバルリプシッツ型誤差境界である。
• 得られた誤差境界r(x)は、先行研究よりも弱い仮定に依拠しているため、既存のTCPおよびPCP文脈における結果よりも緊密である。
• 定理5.7では、TCP(A, q)に対して、AがER-テンソル（またはR-テンソル）である場合、仮定5.2の下でr(x)がグローバルリプシッツ型誤差境界であることが示され、これは文献にまだ記載のない結果である。
• 証明技法は、数列の漸近的挙動を用いた背理法に依拠しており、ER-テンソル仮定の下で有界でない数列が矛盾を引き起こすことを示し、有界性およびコンパクト性を証明する。