[論文レビュー] Pseudo-real principal Higgs bundles on compact Kaehler manifolds

Indranil Biswas, Oscar Garcı́a-Prada+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、複素解析的自己同型を備えたコンpaktoなケーラー多様体上に、擬実主Higgsバンドルを導入し、代数的実バンドルを複素幾何学へ一般化する。ドナルドソン–ウーレンバック–ヤウ対応を確立する：擬実主Gバンドルは、かつてそのバンドルが多項式安定であるときかつそのときに限り、アインシュタイン–ヘルミート接続をもつ。さらに、すべての有理特性類が消えるような多項式安定な擬実バンドルと、σG不変なGの最大コンpakト部分群における拡張基本群のねじれ表現の同値類との間の自然な全単射を証明する。

ABSTRACT

Let $X$ be a compact connected Kähler manifold equipped with an anti-holomorphic involution which is compatible with the Kähler structure. Let $G$ be a connected complex reductive affine algebraic group equipped with a real form $σ_G$. We define pseudo-real principal $G$--bundles on $X$; these are generalizations of real algebraic principal $G$--bundles over a real algebraic variety. Next we define stable, semistable and polystable pseudo-real principal $G$--bundles. Their relationships with the usual stable, semistable and polystable principal $G$--bundles are investigated. We then prove that the following Donaldson--Uhlenbeck--Yau type correspondence holds: a pseudo-real principal $G$--bundle admits a compatible Einstein-Hermitian connection if and only if it is polystable. A bijection between the following two sets is established: 1) The isomorphism classes of polystable pseudo-real principal $G$--bundles such that all the rational characteristic classes of the underlying topological principal $G$--bundle vanish. 2) The equivalence classes of twisted representations of the extended fundamental group of $X$ in a $σ_G$--invariant maximal compact subgroup of $G$. (The twisted representations are defined using the central element in the definition of a pseudo-real principal $G$--bundle.) All these results are also generalized to the pseudo-real Higgs $G$--bundle.

研究の動機と目的

• コンパクトケーラー多様体に反正則自己同型を備えた場合に、主Gバンドルの擬実構造を導入することで、実代数的主バンドルの概念を複素幾何学へ一般化すること。
• 擬実主Gバンドルに対する安定性条件（安定、半安定、多項式安定）を定義し、それらを複素幾何学における標準的安定性概念と関連付けること。
• ドナルドソン–ウーレンバック–ヤウ型対応を確立する：擬実主Gバンドルが適合するアインシュタイン–ヘルミート接続をもつことと、それが多項式安定であることとは同値である。
• すべての有理特性類が消えるような多項式安定な擬実主Gバンドルの同型類と、GのσG不変最大コンパクト部分群における拡張基本群のねじれ表現の同値類との間の自然な全単射を構成すること。
• すべての結果をHiggsバンドルの設定へ拡張し、擬実Higgs Gバンドルに対しても同様の対応関係および表現論的全単射を証明すること。

提案手法

• Gの最大コンパクト部分群KG ⊂ Gの中心に属する中心的元cを用いて、Gの実形式σGと整合する擬実主Gバンドルを定義する。
• 自己同型σGと中心的元cを用いて、拡張基本群Γ(X, x₀)から半直積K̃G = KG ⋊ ℤ/2ℤへのねじれ表現を導入する。
• 完全可約なねじれ表現から、元の主Gバンドル上に平坦接続D = ∇ + θ + θ*を構成し、有理特性類が消えることを保証する。
• 調和還元理論（Corletteの定理）を用いて、調和還元EKG ⊂ EGが擬実構造ρに関して不変となるように選べることを示す。
• 平坦接続D（完全可約なモノドロミーをもつ）から、擬実Higgs Gバンドル(EG, ρ, θ)を構成し、自己同型およびHiggs場と整合するようにする。
• 得られたHiggsバンドルが多項式安定であり、ねじれ表現と多項式安定な擬実Higgs Gバンドルとの間の対応が全単射であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトケーラー多様体上の擬実主Gバンドルが、かつてそのバンドルが多項式安定であるときかつそのときに限り、適合するアインシュタイン–ヘルミート接続をもつのであろうか？
• RQ2 すべての有理特性類が消えるような多項式安定な擬実主Gバンドルの同型類と、GのσG不変最大コンパクト部分群における拡張基本群のねじれ表現の同値類との間には、自然な全単射が存在するのであろうか？
• RQ3 ドナルドソン–ウーレンバック–ヤウ対応は、擬実Higgs Gバンドルの設定へ拡張可能であろうか？
• RQ4 Higgs場が、擬実主Gバンドルの安定性および還元性にどのように影響を与えるのであろうか？
• RQ5 主Gバンドル上の平坦接続が、調和還元と適合するような擬実構造に引き上げられる条件は何か？

主な発見

• 擬実主Gバンドルが適合するアインシュタイン–ヘルミート接続をもつことと、それが多項式安定であることとは同値であり、ドナルドソン–ウーレンバック–ヤウ型対応が確立される。
• すべての有理特性類が正の次数をもたないような多項式安定な擬実主Gバンドルの同型類と、GのσG不変最大コンパクト部分群における拡張基本群のねじれ表現の同値類との間には、自然な全単射が存在する。
• この対応は、平坦接続D = ∇ + θ + θ*のモノドロミーを介して構成され、Dは完全可約なねじれ表現から生じる。
• 擬実Higgs Gバンドルに対しても同様の対応が成り立つ：有理特性類が消える多項式安定Higgsバンドルと、完全可約モノドロミーをもつねじれ表現との間には全単射が存在する。
• 調和還元EKG ⊂ EGを、擬実構造ρに関して不変となるように選べるため、アインシュタイン–ヘルミート条件と整合する。
• Higgs場θとその随伴θ*が、チャーン接続∇と組み合わさり、平坦接続Dを生じる。このDのモノドロミーは完全可約であり、ねじれ表現を導く。