[論文レビュー] Pull-back of currents by meromorphic maps

Tuyen Trung Truong|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2011

Geometry and complex manifolds参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、コンパクトなカラーシュマンフォールド上の$(p,p)$-現在、有限位数のものに対して、正則化されたDSH現在と滑らかな近似による弱極限を用いて、支配的メロモルフィック写像下でのwell-definedなプルバック作用素$f^{\natural}$を導入する。主な貢献は、以前の定義を拡張し、正の性質が失われても、不変現在の研究を可能にする一貫性があり、コhomologically-compatibleなプルバックである。

ABSTRACT

Let $X$ and $Y$ be compact Kähler manifolds, and let $f:X ightarrow Y$ be a dominant meromorphic map. Base upon a regularization theorem of Dinh and Sibony for DSH currents, we define a pullback operator $f^{\sharp}$ for currents of bidegrees $(p,p)$ of finite order on $Y$ (and thus for {\it any} current, since $Y$ is compact). This operator has good properties as may be expected. Our definition and results are compatible to those of various previous works of Meo, Russakovskii and Shiffman, Alessandrini and Bassanelli, Dinh and Sibony, and can be readily extended to the case of meromorphic correspondences. We give an example of a meromorphic map $f$ and two nonzero positive closed currents $T_1,T_2$ for which $f^{\sharp}(T_1)=-T_2$. We use Siu's decomposition to help further study on pulling back positive closed currents. Many applications on finding invariant currents are given.

研究の動機と目的

• コンパクトなカラーシュマンフォールド上の$(p,p)$-現在（有限位数）に対して、支配的メロモルフィック写像下での一貫性のあるプルバック作用素を定義すること。
• 滑らかで正の閉じた現在、およびDSH現在に対する既存のプルバック定義と整合性を保証すること。
• プルバックをメロモルフィック対応へ拡張し、反復における現在の不変性を研究すること。
• 正の現在のプルバックが一般に正のまま保たれない、特に高次バイデグリーの場合を調査すること。
• Siuの分解と力学系の技法を用いて、不変現在を構成するための理論を適用すること。

提案手法

• 滑らかなテスト形式$\alpha$に対して、$\int_X f^{\natural}(T) \wedge \alpha = \lim_{n\to\infty} \int_Y T \wedge K_n(f_*(\alpha))$という双対性恒等式を用いる。ここで$K_n$は$f_*(\alpha)$の正則化である。
• DinhとSibonyの正則化定理を用い、DSH現在である$f_*(\alpha)$を$C^s$形式$K_n(f_*(\alpha))$で近似する。
• $T_n$を$T$の滑らかな近似とし、$f^*(T_n)$の弱極限として$f^{\natural}(T)$を定義することで、系列間の一貫性を保証する。
• 正の現在のコンパクトネスとDSHノルムを活用して収束を制御し、一般現在におけるプルバックの定義を可能にする。
• Siuの分解を用いて、正の閉じた現在のプルバックを、特異部と解析的部に分離することで分析する。
• 弱極限による確率測度の平均化されたプルバックの構成を通じて、力学系にプルバックを適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 支配的メロモルフィック写像下でも、正の性質が保たれない場合を含め、$(p,p)$-現在に対して一貫性のあるプルバック作用素を定義できるか。
• RQ2 提案されたプルバック作用素は、滑らかで正の閉じた現在、およびDSH現在に対する既存の定義と一致するか。
• RQ3 メロモルフィック写像下で正の閉じた現在のプルバックが、いつ正のまま保たれるか。
• RQ4 プルバックをメロモルフィック対応へ拡張し、不変現在の構成に用いることができるか。
• RQ5 一般のカラーシュマンフォールドにおいて、代数的安定性性質$(f^n)^{\natural} = (f^{\natural})^n$を満たすか。

主な発見

• 正則化と弱極限を用いて、コンパクトなカラーシュマンフォールド上のすべての$(p,p)$-現在（有限位数）に対して、プルバック作用素$f^{\natural}$がwell-definedである。
• 作用素は滑らかな形式における標準的プルバックと整合性があり、正の閉じた現在およびDSH現在に対する以前の構成とも整合する。
• 非ゼロの正の閉じた現在$T_1, T_2$に対して$f^{\natural}(T_1) = -T_2$となる例が構成され、一般に正の性質が保たれないことが示された。
• Siuの分解を用いて、解析的部と特異部に分離することで、一般の正の閉じた現在のプルバックを分析するための基準を提供した。
• プルバックは現在のコhomology類を保ち、コhomological dynamicsとの整合性を保証する。
• 自己同型$J_X$に対して、$(2,2)$-現在において$(J_X^{\natural})^2 = \mathrm{id}$が成り立ち、$J_X$は$2$-代数的安定である。