[論文レビュー] Quadratic Julia Sets with Positive Area

Xavier Buff, Arnaud Chéritat|ArXiv.org|May 18, 2006

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 10被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、摂動技法を用いて、クレメール固定点、シーゲル円板、無限次反復再正規化を有する例を構成することで、正のLebesgue測度をもつ二次多項式の存在を証明している。ポスト・クリティカル集合を制御し、McMullen、Chéritat、Yoccozの結果を活用することで、非双曲的かつ特定の状況では非線形化不可能であるにもかかわらず、このようなジュリア集合が正の面積をもつことが確立された。

ABSTRACT

We prove the existence of quadratic polynomials having a Julia set with positive Lebesgue measure in three cases: the presence of a Cremer fixed point, the presence of a Siegel disk, the presence of infinitely many (satellite) renormalizations.

研究の動機と目的

• 二次多項式のジュリア集合が正の面積をもつという長年の予想を解決すること。
• クレメール固定点、シーゲル円板、無限次反復再正規化を有する特定の力学的特徴をもつような、そのような多項式の明示的例を構成すること。
• 非双曲的かつ非線形化可能でない設定においても、正の面積が可能であることを示すことで、既存の結果を拡張すること。
• 有界型無理数の摂動に基づく新しい証明戦略を提供し、変形過程での測度損失を制御すること。
• シーゲル円板の境界付近での面積の上半連続性および可測密度が、正の測度を維持するために利用可能であることを示すこと。

提案手法

• 有界型無理数に対して、小さな摂動が空きジュリア集合の大部分の面積を保つという、鍵となる命題に基づく摂動戦略の使用。
• McMullenによる、有界型回転数をもつシーゲル円板の境界付近における空きジュリア集合の可測密度に関する結果の応用。
• Chéritatの放物的爆発技術を用いて、摂動されたシーゲル円板の幾何構造およびそのポスト・クリティカル集合を制御すること。
• Yoccozの再正規化理論を用いて、シーゲル円板の構造およびその回転数を分析すること。
• InouとShishikuraの結果を統合し、包あたる固定点をもつ多項式の摂動におけるポスト・クリティカル集合を制御すること。
• 等角同相写像および普遍被覆写像を用いて、基本領域上の力学を分析し、重要な写像の単射性を証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 クレメール固定点をもつ二次多項式が、正のLebesgue測度をもつジュリア集合をもてるか？
• RQ2 シーゲル円板をもつ二次多項式が、正の面積をもつジュリア集合をもてるか？
• RQ3 無限次反復再正規可能である二次多項式で、正の面積をもつジュリア集合をもつものは構成可能か？
• RQ4 有界型回転数をもつパラメータの小さな摂動において、空きジュリア集合の面積がどのように保たれるか？
• RQ5 双曲的でなく、線形化不可能な状況においても、正の面積が維持される力学的メカニズムは何か？

主な発見

• 本稿では、クレメール固定点をもつ二次多項式が、正のLebesgue測度をもつジュリア集合をもつことを確立した。
• シーゲル円板をもつ二次多項式が、正の面積をもつジュリア集合をもつことを証明し、既存の結果を拡張した。
• 無限次反復再正規可能な二次多項式の例を構成し、そのジュリア集合が正の面積をもつことを示した。
• 極限に近づくパラメータの列に対して、空きジュリア集合の面積が正の定数以上に下から有界であることを示した。
• 面積損失が任意に小さくなるように制御される摂動スキームに依拠しており、これにより極限多項式が正の面積をもつことが保証された。
• 面積が上半連続であり、小さな摂動においても保たれるような、有界型無理数の集合を用いて構成した。