[論文レビュー] Quadratic $n$-ary Hom-Nambu algebras

Faouzi Ammar, Sami Mabrouk+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2011

Advanced Topics in Algebra参考文献 35被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、同型写像 $\alpha$ による対称性と同型写像 $\beta$ による不変性を満たす、不変で非退化的かつ対称的な双線形形式を備えた $n$-項代数である2次 $n$-項ホム・ナンブ代数を導入し、その性質を研究する。同型写像によるねじれ原理、テンソル積、および T*-拡張を用いた構成法を確立し、このような代数が2次ホム・ライブニッツ代数を生じることを証明するとともに、低次の代数から高次の代数を導出する方法を示し、中心の観点からの新しい2次 $n$-項ホム・ナンブ代数の構成法が、主要な結果として得られる。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to introduce and study quadratic $n$-ary Hom-Nambu algebras, which are $n$-ary Hom-Nambu algebras with an invariant, nondegenerate and symmetric bilinear forms that are also $α$-symmetric and $β$-invariant where $α$ and $β$ are twisting maps. We provide constructions of these $n$-ary algebras by using twisting principles, tensor product and T*-extension. Also is discussed their connections with representation theory and centroids. Moreover we show that one may derive from quadratic $n$-ary Hom-Nambu algebra ones of increasingly higher arities and that under suitable assumptions it reduces to a quadratic $(n-1)$-ary Hom-Nambu algebra.

研究の動機と目的

• 2次 $n$-項ホム・ナンブ代数を定義し、2次二項ホム・リー代数を高次アリティへ一般化する。
• 同型写像 $\alpha_i$ および $\beta$ によるねじれ写像と整合する不変で非退化的かつ対称的な双線形形式の役割を調査する。
• 2次 $n$-項ホム・ナンブ代数と表現論との関係を確立し、特に随伴表現および余随伴表現を含む。
• 新しい2次 $n$-項ホム・ナンブ代数を生成するための構成技術（ねじれ、テンソル積、T*-拡張）を開発する。
• 2次 $n$-項ホム・ナンブ代数が適切な条件下で、高次および低次の代数を構成できることを示す。

提案手法

• 同型写像 $\alpha_i$ および $\beta$ と整合する不変で非退化的かつ対称的な双線形形式を備えた2次 $n$-項ホム・ナンブ代数の概念を導入する。
• ねじれ原理を用いて、$n$-項ホム・結合的代数から新しい $n$-項ホム・ナンブ代数を構成する。
• T*-拡張の構成法を適用し、既存の代数から2次 $n$-項ホム・ナンブ代数を生成する。
• $n$-項ホム・結合的代数に対して $\eta^k$-中心および $\eta^k$-微分を定義し、代数的構造を分析する。
• 双線形形式 $B$ に関して対称的かつ可逆な要素 $\theta$ を中心に用いて、新しい2次 $n$-項ホム・ナンブ代数を構成する。
• 乗法的かつ対称的な $n$-項ホム・結合的代数と、乗法的な $n$-項ホム・ナンブ・リー代数のテンソル積が、$\zeta^k = \eta^k \otimes \alpha^k$-中心および $\zeta^k$-微分を備えた新しい $n$-項ホム・ナンブ・リー代数を生成することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次 $n$-項ホム・ナンブ代数の概念は、二項の場合から高次アリティへ、不変双線形形式を伴ってどのように一般化できるか？
• RQ2 2次 $n$-項ホム・ナンブ代数の構造的性質、特に双線形形式の不変性、対称性、非退化性に関してはどのような特徴があるか？
• RQ3 ねじれ、テンソル積、または T*-拡張を用いて、新しい2次 $n$-項ホム・ナンブ代数を体系的に構成できるか？
• RQ4 表現、特に随伴および余随伴表現は、二項から $n$-項ホム・ナンブ代数へどのように拡張されるか？
• RQ5 2次 $n$-項ホム・ナンブ代数を用いて、高次または低次の代数を生成できるか。また、$(n-1)$-項代数への還元はどのような条件下で成立するか？

主な発見

• 2次 $n$-項ホム・ナンブ代数は、同型写像による対称性 $\alpha$ と不変性 $\beta$ を満たす不変で非退化的かつ対称的な双線形形式を備える。
• T*-拡張の構成法により、既存の代数から2次 $n$-項ホム・ナンブ代数が得られ、必要な不変性および対称性の性質が保たれる。
• 2次 $n$-項ホム・ナンブ代数は、その括弧演算とねじれ構造により、自然に2次ホム・ライブニッツ代数を誘導する。
• 2次 $n$-項ナンブ・リー代数の中心における可逆かつ対称的要素 $\theta$ を用いて、新しい2次 $n$-項ホム・ナンブ・リー代数が構成され、双線形形式は $B_\theta(x,y) = B(\theta x, y)$ として修正される。
• 乗法的かつ対称的な $n$-項ホム・結合的代数と、乗法的な $n$-項ホム・ナンブ・リー代数のテンソル積は、$\zeta^k = \eta^k \otimes \alpha^k$-中心および $\zeta^k$-微分を備えた新しい $n$-項ホム・ナンブ・リー代数を生成する。
• 適切な条件下で、2次 $n$-項ホム・ナンブ代数は2次 $(n-1)$-項ホム・ナンブ代数に還元可能であり、代数の階層的構造が示される。