[論文レビュー] Quantitative Volume Space Form Rigidity Under Lower Ricci Curvature Bound

Lina Chen, Xiaochun Rong+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 24, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 34被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、リッチ曲率下界をもつリーマン多様体について、定量的剛性定理を確立している。すなわち、普遍被覆における局所体積成長が空間形（曲率 $H = \pm 1$ または $0$）とほぼ最大である場合、多様体は空間形と微分同相であり、Gromov–Hausdorff位相でも空間形に近い。結果は古典的剛性定理を一般化し、体積および曲率条件の下での有効な安定性を提供する。

ABSTRACT

Let $M$ be a compact $n$-manifold of $\operatorname{Ric}_M\ge (n-1)H$ ($H$ is a constant). We are concerned with the following space form rigidity: $M$ is isometric to a space form of constant curvature $H$ under either of the following conditions: (i) There is $ρ>0$ such that for any $x\in M$, the open $ρ$-ball at $x^*$ in the (local) Riemannian universal covering space, $(U^*_ρ,x^*) o (B_ρ(x),x)$, has the maximal volume i.e., the volume of a $ρ$-ball in the simply connected $n$-space form of curvature $H$. (ii) For $H=-1$, the volume entropy of $M$ is maximal i.e. $n-1$ ([LW1]). The main results of this paper are quantitative space form rigidity i.e., statements that $M$ is diffeomorphic and close in the Gromov-Hausdorff topology to a space form of constant curvature $H$, if $M$ almost satisfies, under some additional condition, the above maximal volume condition. For $H=1$, the quantitative spherical space form rigidity improves and generalizes the diffeomorphic sphere theorem in [CC2].

研究の動機と目的

• リッチ曲率下界の下で、古典的空間形剛性定理の定量的バージョンを確立すること。
• 普遍被覆でほぼ最大の局所体積を達成する多様体が空間形と微分同相であることを証明すること。
• Cheeger–Coldingの球体定理を、定量的かつ安定的設定に拡張すること。
• 負曲率における双曲型剛性を実現するため、体積エントロピーおよび直径制約を組み込むこと。
• 曲率、体積、直径、および空間形モデルからの局所体積のずれに関する有効な推定を提供すること。

提案手法

• リーマン多様体の普遍被覆を用いた局所的リワインド体積を用いて、局所幾何を空間形と比較する。
• Bishopの体積比較およびCheeger–Coldingのセグメント不等式を応用し、体積および勾配成長を制御する。
• Poincaré型およびDirichlet型不等式を用いて、解と指数関数との間の勾配差の $L^2$ ノルムを推定する。
• 切り捨て関数およびBochnerの公式を用いて、積分推定におけるヘッセ型およびリッチ曲率項を制御する。
• モデル方程式を解く関数 $\tilde{f}$ を導入し、$e^u = e^{|px| - |pq|}$ と比較可能にする。これによりラプラシアンおよびヘッセ型推定による比較が可能になる。
• 体積および曲率における $\epsilon$-近さに基づき、$\Psi(\epsilon|n,\rho,v)$-等長写像推定を導出する。ここで $\Psi \to 0$ が $\epsilon \to 0$ のとき成り立つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リッチ曲率 $\operatorname{Ric}_M \geq (n-1)H$ かつ普遍被覆における局所体積成長がほぼ最大である多様体が、いつ空間形と微分同相になるか。
• RQ2 このような多様体と空間形とのGromov–Hausdorff距離は、最大体積からのずれにどのように依存するか。
• RQ3 微分同相球体定理は、体積および曲率の有界性の下で、有効な安定性を含む形に強化可能か。
• RQ4 直径制御は、双曲空間形における定量的剛性において、どのような役割を果たすか。
• RQ5 負曲率多様体の剛性において、体積エントロピーと局所体積のずれはどのように相互作用するか。

主な発見

• $H = 1$ の場合、$\operatorname{Ric}_M \geq n-1$, $\operatorname{vol}(\tilde{M}) \geq v$, およびすべての $x$ に対して $\frac{\operatorname{vol}(B_\rho(x^*))}{\operatorname{vol}(\underline{B}_\rho^1)} \geq 1 - \epsilon$ が成り立つならば、$M$ は $\Psi(\epsilon|n,\rho,v)$-等長写像により球面空間形と微分同相である。
• $H = 1$ の定量的剛性は、Cheeger–Coldingの微分同相球体定理を、体積および局所体積制御を組み込むことで改善・一般化している。
• $H = -1$ の場合、$\operatorname{Ric}_M \geq -(n-1)$, $\operatorname{diam}(M) \leq d$, $\operatorname{vol}(B_1(\tilde{p})) \geq v$, およびすべての $x$ に対して $\frac{\operatorname{vol}(B_\rho(x^*))}{\operatorname{vol}(\underline{B}_\rho^{-1})} \geq 1 - \epsilon$ が成り立つならば、$M$ は $\Psi(\epsilon|n,\rho,d,v)$-等長写像により双曲多様体と微分同相である。
• 結果として、$\Psi(\epsilon|n,\rho,v) \to 0$ が $\epsilon \to 0$ のとき成り立つことが示され、小さな体積ずれの下での有効な安定性が裏付けられる。
• 証明は、$|\nabla \tilde{f} - \nabla e^u|^2$ の $L^2$-推定およびBochnerの公式と切り捨て技術によるヘッセ型制御に依存する。
• 負曲率の場合に直径制御がないと、反例が存在し、このような境界が定量的剛性において本質的であることが示されている。