[論文レビュー] Quantization of the Hitchin moduli spaces, Liouville theory, and the geometric Langlands correspondence I

J. Teschner|arXiv (Cornell University)|May 17, 2010

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 47被引用数 21

ひとこと要約

本稿は、2パラメータの変形と量化的な手続きを通じて、ヒチンモジュライ空間の量子化、リーマン面の共形場理論、幾何学的ラングランズ対応を統一的な枠組みで結びつける。量子ハイパーカイラー回転を介して、リーマン面の共形場理論が量子ヒチン系の極限として現れることを示し、双対なCFTとモジュラー関手を通じてラングランズ双対性の物理的・幾何的実現を達成する。

ABSTRACT

We discuss the relation between Liouville theory and the Hitchin integrable system, which can be seen in two ways as a two step process involving quantization and hyperkaehler rotation. The modular duality of Liouville theory and the relation between Liouville theory and the SL(2)-WZNW-model give a new perspective on the geometric Langlands correspondence and on its relation to conformal field theory.

研究の動機と目的

• ヒチンモジュライ空間の量子化、リーマン面の理論、幾何学的ラングランズ対応の関係を明確化すること。
• 2段階の手続き（変形と量化的な手続き）を経て、リーマン面の理論が量子ヒチン系の極限としてどのように現れるかを説明すること。
• 双対な共形Toda理論とモジュラー関手を通じて、ラングランズ双対性の物理的・幾何的実現を確立すること。
• リーマン面の量子テイヒミュラー空間とリーマン面の理論の関係を、より高ランクのリー群およびそのラングランズ双対群へ一般化すること。
• 2パラメータのヒチン系の変形を用いて、AGT対応、S双対性、幾何学的ラングランズ対応を統一的に扱うこと。

提案手法

• パラメータ $\epsilon_1 = \hbar b$ と $\epsilon_2 = \hbar / b$ を用いたヒチン系の2パラメータ変形を用い、古典的および量子的領域の間を滑らかに接続する。
• ハイパーカイラー回転を適用して、ヒチンモジュライ空間とフクシアンの等モノドロミー的変形を関連させ、古典的リーマン面の理論と接続する。
• ヤンのポテンシャルによるヒチン系の量化的な手続きを実行し、$\epsilon_2 \to 0$ の極限として量子ヒチン系を導出する。
• 量子ハイパーカイラー回転を、量子ヒチン系からリーマン面の理論への双対的変換操作として導入する。
• Toda理論のブロックから $W_k(\mathfrak{g})$-代数の共形ブロックを構成し、$\mathfrak{sl}_2$ の場合を高ランクリー代数へ一般化する。
• 関係式 $(k+h^\vee)r^\vee = (\check{k}+\check{h}^\vee)^{-1}$ を用いて、$\mathsf{Toda}_k(\mathfrak{g})$ と $\mathsf{Toda}_{\check{k}}({}^L\mathfrak{g})$ の双対性を確立し、$W_k(\mathfrak{g}) \simeq W_{\check{k}}({}^L\mathfrak{g})$ を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒチン系の2パラメータ変形は、$\epsilon_2 \to 0$ の極限においてリーマン面の理論がどのように現れるかとどのように関係するか。
• RQ2 量子ハイパーカイラー回転が、量子ヒチン系とリーマン面の理論を結ぶ上で果たす正確な役割は何か。
• RQ3 ラングランズ双対性の下で、$\mathsf{Toda}_k(\mathfrak{g})$ と $\mathsf{Toda}_{\check{k}}({}^L\mathfrak{g})$ の共形ブロックはどのように関係するか。
• RQ4 この枠組みを用いて、高ランクの量子テイヒミュラー空間のモジュラー関手予想を証明できるか。
• RQ5 この構成は、双対なWZNWモデルと双対なToda理論を通じて、幾何学的ラングランズ対応をどのように実現するか。

主な発見

• リーマン面の理論は、量子ハイパーカイラー回転を経て、$\epsilon_2 \to 0$ の極限において、量子ヒチン系の極限として現れる。この極限で古典的リーマン面の作用が回復される。
• 2パラメータのインスタントン分配関数 $\mathcal{Z}(a,\epsilon_1,\epsilon_2;q)$ は、リーマン面の共形ブロックと同一視され、AGT対応を一般化する。
• 双対性関係 $(k+h^\vee)r^\vee = (\check{k}+\check{h}^\vee)^{-1}$ の下で、$W_k(\mathfrak{g})$ と $W_{\check{k}}({}^L\mathfrak{g})$ は同型であることが確認され、双対Toda理論が裏付けられる。
• $\mathsf{WZNW}_k(\mathfrak{g})$ と $\mathsf{WZNW}_{\check{k}}({}^L\mathfrak{g})$ の共形ブロックは、$\mathsf{Toda}_k(\mathfrak{g})$ のブロックから構成され、双対性の鎖が確立される。
• 幾何学的ラングランズ対応は、変形／量化的な図式における双対的な経路を通じて実現され、両方の経路が同じToda理論の極限に収束する。
• この枠組みは $\mathfrak{sl}_2$ の場合を高ランク群へ一般化し、双対なCFTとモジュラー関手を通じて、完全な量子幾何学的ラングランズ対応が実現可能であることを示唆する。