[論文レビュー] Quantum Adiabatic Computation and the Travelling Salesman Problem

Tien D. Kieu|ArXiv.org|Jan 23, 2006

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 25被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、オラクルハミルトニアンを用いて、NP完全問題である巡回セールスマン問題（TSP）のための新しい量子断熱アルゴリズムを提案する。従来の手法とは異なり、計算時間およびエネルギー複雑度の両方が多項式スケーリングを達成する。主な貢献は、時間的断熱進化の一般下界をエネルギーに依存する形で導出したことであり、エネルギーが量子計算における根本的な複雑度資源であることを示している。

ABSTRACT

The NP-complete problem of the travelling salesman (TSP) is considered in the framework of quantum adiabatic computation (QAC). We first derive a remarkable lower bound for the computation time for adiabatic algorithms in general as a function of the energy involved in the computation. Energy, and not just time and space, must thus be considered in the evaluation of algorithm complexity, in perfect accordance with the understanding that all computation is physical. We then propose, with oracular Hamiltonians, new quantum adiabatic algorithms of which not only the lower bound in time but also the energy requirement do not increase exponentially in the size of the input. Such an improvement in both time and energy complexity, as compared to all other existing algorithms for TSP, is apparently due to quantum entanglement. We also appeal to the general theory of Diophantine equations in a speculation on physical implementation of those oracular Hamiltonians.

研究の動機と目的

• NP完全問題（TSPを含む）の既存の量子断竣工続アルゴリズムにおける指数的時間およびエネルギー複雑度に対処すること。
• 時間と空間に加えて、物理的資源としてのエネルギーもアルゴリズムの複雑度評価において考慮すべきであることを確立すること。
• TSPのための、時間とエネルギーの両方が指数的スケーリングを回避する新しいクラスのオラクルハミルトニアンを開発すること。
• ディオファントス方程式の理論を用いて、これらのオラクルハミルトニアンの物理的実装可能性を検討すること。
• 提案されたアルゴリズムにおける観察された複雑度の改善が、量子もつれに起因している可能性を示すこと。

提案手法

• シュレーディンガー方程式と、実際の状態進化と位相の曖昧な状態進化との差を用いて、一般の断熱計算時間の下界を導出する。
• 時間に依存するハミルトニアン H(t) = f(t)HI + g(t)HP を導入し、初期ハミルトニアン HI と問題ハミルトニアン HP の間を補間する。
• 進化した状態と基準状態とのヒルベルト空間距離を用いて、問題ハミルトニアン HP の初期状態に対するエネルギー分散 ΔIE に依存する最小進化時間 T_min を導出する。
• 最短巡回路が地面状態に符号化された、TSP のためのオラクルハミルトニアンを提案し、線形補間を用いた有限次元ヒルベルト空間で定式化する。
• ディオファントス方程式の理論を適用し、オラクルハミルトニアンを整数解が有効なTSP巡回路に対応する物理的ハミルトニアンにマッピングする。
• 得られた物理的ハミルトニアンの基底状態エネルギーが最小巡回路長に一致することを示し、原理的に物理的実装が可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エネルギーに明示的に依存する断熱計算時間の下界を導出可能か？ これは計算の物理的性質を反映するものである。
• RQ2 TSPのための量子断熱アルゴリズムを設計可能か？ その際、時間的およびエネルギー的複雑度が都市数 M に対して多項式スケーリングされるようにする。
• RQ3 量子もつれは、NP完全問題における時間的およびエネルギー的多項式スケーリングを可能にする要因として果たす役割は何か？
• RQ4 ディオファントス方程式のような既知の数学的枠組みを用いて、TSP のオラクルハミルトニアンを物理的に実装可能か？
• RQ5 量子リソースを活用することで、M^M のスケーリングを示す古典的シミュレーションを上回る性能を、提案されたアルゴリズムが達成可能か？

主な発見

• 一般の断熱計算時間の下界が T_min ≥ 2 / ΔIE として導出され、ΔIE は初期状態に対する問題ハミルトニアンのエネルギー分散である。
• 提案されたオラクルハミルトニアン手法により、計算時間およびエネルギーの両方が多項式スケーリングを達成され、時間の下界は都市数 M に依存しない定数に近づく。
• エネルギーコストは、TSP のすべての従来の量子断熱アルゴリズムが示す指数的スケーリングとは対照的に、M の2乗に比例して増加する。
• この手法は、解が地面状態に符号化されたオラクルハミルトニアンに依存しており、有限次元ヒルベルト空間の定式化により線形補間が可能である。
• ディオファントス方程式を用いた物理的実装の可能性が示唆されており、ディオファントス多項式から構築されたハミルトニアンの基底状態エネルギーは、最短TSP巡回路長に等しい。
• 結果から、従来の断熱量子計算であまり活用されていなかった量子もつれが、この複雑度の改善を実現する鍵である可能性が示唆される。