[論文レビュー] Quantum Algorithms to Matrix Multiplication

Changpeng Shao|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 19被引用数 22

ひとこと要約

本稿では、スワップテスト、SVE、HHLを用いた行列積のための3つの量子アルゴリズムを提案し、効率的な量子入出力処理に注力している。スワップテストに基づく手法は、仮定を一切要せず、$Õ(n^2/ε)$の複雑さを達成し、古典的データから量子状態を効率的に準備することで、行列積の入力問題を多項式時間で解く。

ABSTRACT

In this paper, we study quantum algorithms of matrix multiplication from the viewpoint of inputting quantum/classical data to outputting quantum/classical data. The main target is trying to overcome the input and output problem, which are not easy to solve and many quantum algorithms will encounter, to study matrix operations in quantum computer with high efficiency. And solving matrix multiplication will be the first step. We propose three quantum algorithms to matrix multiplication based on swap test, SVE and HHL. From the point of making fewer assumptions, swap test method works the best than the other two. We also show that the quantum algorithm of matrix multiplication with classical input and output data by swap test achieves the best complexity $\widetilde{O}(n^2/ε)$ with no assumptions. This is proved by giving an efficient quantum algorithm in polynomial time to solve the input problem, that is to prepare the quantum states of the classical data efficiently. Other contributions of this paper include: (1). Extending swap test to a more general form that is suitable to deal with quantum data in parallel, which will have further applications in other matrix operations. (2). Generalizing SVE technique such that it applies to any matrix (not just Hermitian) directly only with quantum data. (3). Proposing two new efficient quantum algorithms to prepare quantum states of classical data, which solves the input problem efficiently than other quantum algorithms.

研究の動機と目的

• 古典的データを量子状態に変換し、逆に量子状態を古典的データに戻すプロセスが主要なボトル neck となる、量子行列積における入出力問題に対処すること。
• 量子データおよび古典的データの両方の入出力に対して効率的に動作する量子アルゴリズムを開発すること。
• QRAM仮定に依存しないように、古典的データから量子状態を効率的に準備する手法を提供することで、未検証の仮定を排除すること。
• 古典的行列演算（例：QR、LU）を完全に量子的な入出力を持つ形で量子ドメインに拡張する基盤を構築すること。

提案手法

• 量子出力に対応する一般化されたスワップテストを提案し、量子から量子への行列積を可能にし、元々のスワップテストを古典的出力から量子出力へ拡張する。
• 古典的データから量子状態を準備する2つの新しい量子アルゴリズムを導入し、従来の手法よりも優れた複雑さを達成する。
• 古典的入力と量子出力を持つ行列積にスワップテストを適用し、$Õ(n^2/ε)$の複雑さを達成する。
• 非エルミート行列に対しても動作するよう、SVE（特異値推定）を一般化し、量子入力データのみを用いる。
• HHLアルゴリズムを量子入力と量子出力を持つ行列積に適用するが、行列の条件数に依存する。
• 精度$ε$および条件数の仮定の下での複雑さを分析し、これらの値が$O(\text{poly} \log n)$に有界であれば、多項式時間で解けることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 入出力ともに量子状態である場合、QRAM仮定に依存せずに、量子コンピュータ上で行列積を効率的に行うことは可能か？
• RQ2 古典的データが入力で、量子データが出力である場合、最適な量子アルゴリズムは何か？ その複雑さは？
• RQ3 古典的データから量子状態を効率的に準備することは、行列積全体の複雑さを支配しないように可能か？
• RQ4 スワップテストは、量子から量子への演算をサポートできるように一般化可能か？ また、行列積を超えた応用は何か？
• RQ5 行列の構造と精度に関する現実的な仮定の下で、SVEおよびHHLベースのアプローチとスワップテスト手法の複雑さを比較するとどうなるか？

主な発見

• 古典的入力と量子出力を持つ行列積のスワップテストベースの量子アルゴリズムは、仮定を一切要せず、$Õ(n^2/ε)$の複雑さを達成し、一般条件下で最も効率的である。
• 提案された量子状態準備アルゴリズム（定理4.1および4.2）は、既存の手法よりも優れた複雑さを達成しており、特に定理4.2は一般の古典的データに対して$O(\log n / \epsilon^2)$の複雑さに到達する。
• 行列の条件数が$O(\text{poly} \log n)$に有界である場合、SVEおよびHHLベースのアルゴリズムは効率的な性能を発揮するが、スワップテスト手法に比べてより強い仮定を要する。
• 入力問題—古典的データから量子状態を準備すること—は、$n \times n$行列に対して$O(n^2)$時間で効率的に解ける。これは、行列積の下界と一致するため、許容可能である。
• 一般化されたスワップテストにより、量子から量子への行列積が可能となり、元のスワップテストの適用範囲が拡張され、量子行列演算におけるより広範な応用が可能になる。
• 理論的分析により、スワップテスト手法が仮定と複雑さの点で最適であり、一般ケースにおいてSVEおよびHHLを上回ることが確認された。