[論文レビュー] Quantum approximate algorithm for NP optimization problems with constraints

Yue Ruan, S. Marsh+4 more|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2020

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 18被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、線形等式制約、線形不等式制約、および任意の制約を含むNP最適化問題を解くために、量子近似最適化アルゴリズム（QAOA）の一般化された制約符号化フレームワークを提案する。対称的・正則的・スターグラフに基づく混合ハミルトニアン（$ hat{B}$）を構築することで、変分プロセス全体を通して実行可能解が保持されることを保証し、小規模な問題例においてペナルティベースの手法や$ hat{C}$修正手法に比べて優れた解の品質を示した。

ABSTRACT

The Quantum Approximate Optimization Algorithm (QAOA) is an algorithmic framework for finding approximate solutions to combinatorial optimization problems, derived from an approximation to the Quantum Adiabatic Algorithm (QAA). In solving combinatorial optimization problems with constraints in the context of QAOA or QAA, one needs to find a way to encode problem constraints into the scheme. In this paper, we formalize different constraint types to linear equalities, linear inequalities, and arbitrary form. Based on this, we propose constraint-encoding schemes well-fitting into the QAOA framework for solving NP combinatorial optimization problems. The implemented algorithms demonstrate the effectiveness and efficiency of the proposed scheme by the testing results of varied instances of some well-known NP optimization problems. We argue that our work leads to a generalized framework for finding, in the context of QAOA, high-quality approximate solutions to combinatorial problems with various types of constraints.

研究の動機と目的

• ペナルティ項を用いないことで性能が低下するのを回避する目的で、QAOAに制約を組み込む課題に対処すること。
• 制約を3種類に分類する：線形等式、線形不等式、任意の制約。これにより、体系的な符号化が可能になる。
• 実行可能解の部分空間を保存する、一般化され、柔軟性があり、効率的なQAOAフレームワーク内での制約符号化方式を開発すること。
• 対称的・正則的・スターグラフに基づく$ hat{B}$作用素が、既存の手法に比べてより優れた近似解をもたらすことを示すこと。
• グラフ分割や3-SATなどのベンチマークNP問題に対して、提案手法を検証し、実行可能性と解の品質の両方で向上を示すこと。

提案手法

• 制約を3つのカテゴリに分類する：線形等式、線形不等式、任意の制約。これにより、最適化された符号化戦略が可能になる。
• 線形制約に対して、正則的またはほぼ正則なグラフに基づく$ hat{B}$作用素を提案。エッジは、ハミング距離1または2の差がある実行可能解同士を接続する。
• 任意の制約に対してスターグラフ作用素を導入。1つの実行可能解（中心）が他のすべての実行可能解と接続され、実行可能部分空間の完全な連結性が保証される。
• $ hat{B}$の隣接グラフ表現を用いて混合ハミルトニアンを定義し、$[ hat{B}, H_{\text{constraint}}] = 0$ を満たすことで、発展中も実行可能部分空間が保存されることを保証する。
• $ hat{C}$にペナルティ項を用いないように、$ hat{B}$による探索空間の制約により、ヒルベルト空間のサイズを縮小し、解の品質を向上させる。
• 標準的なQAOA変分フレームワークを採用。$ hat{U}_B(\beta)$ と $ hat{U}_C(\gamma)$ のユニタリ操作を交互に適用し、$ vec{\beta}, \nvec{\gamma}$ を最適化して $ langle \nhat{C} \n angle$ を最大化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 QAOAフレームワーク内に、線形等式、線形不等式、任意の制約といった多様な制約タイプを統合的に符号化するための統一的フレームワークを開発できるか？
• RQ2 問題ハミルトニアン$ hat{C}$ではなく、混合ハミルトニアン$ hat{B}$に制約を符号化することで、解の品質と実行可能性にどのような影響を与えるか？
• RQ3 正則性や対称性といった$ hat{B}$の構造的特性が、制約付き最適化におけるQAOAの性能向上にどのように寄与するか？
• RQ4 $ hat{B}$にスターグラフまたは正則グラフ構造を用いることで、標準的またはペナルティベースの手法に比べてより優れた近似解が得られるか？
• RQ5 $ hat{B}$による部分空間制限が、小スケールのNP問題におけるQAOA性能にどの程度向上効果をもたらすか？

主な発見

• 構造的$ hat{B}$作用素（正則グラフまたはスターグラフ）を用いた提案された制約符号化方式は、ペナルティベース手法や$ hat{C}$修正方式に比べ、より優れた近似解を生成した。
• 線形制約の場合、$ hat{B}$作用素は、ハミング距離1または2の差がある実行可能解間の遷移の和として構築され、正則的またはほぼ正則なグラフを形成する。
• スターグラフ作用素は、中心となる初期実行可能解がすべての他の実行可能解と接続されることで、任意の制約を効果的に符号化し、実行可能部分空間の完全な連結性を保証する。
• 結果として、$ hat{B}$による探索空間の制限により、実行可能部分空間が小さくなることで、$ hat{C}$を修正する手法よりも著しく優れた解の品質が得られ、低品質な解が測定される確率が低減することが実証された。
• 本手法はQAOAの発展全般にわたり実行可能性を維持し、エネルギー分布の歪みを引き起こす可能性のあるペナルティ項の使用を回避した。
• $p=3$ の小スケールインスタンスにおいて、グラフ分割や3-SATといった問題に対して実験的検証を行い、提案手法の有効性と効率性が示された。