[論文レビュー] Quantum Algorithms for Scientific Computing and Approximate Optimization

Stuart Hadfield|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 211被引用数 31

ひとこと要約

本稿では、科学的計算および組合せ最適化のための新規量子アルゴリズムを提示し、平方根や対数などの基本関数のためのモジュラー量子回路、ハミルトニアンの低エネルギー固有値を多項式スケーリングで近似する摂動的量子アルゴリズム、および実行可能性制約を伴う最適化問題に一般化された量子交互作用オペレータアンザッツを導入し、近い未来の量子デバイスにおけるリソース効率を向上させている。

ABSTRACT

Quantum computation appears to offer significant advantages over classical computation and this has generated a tremendous interest in the field. In this thesis we study the application of quantum computers to computational problems in science and engineering, and to combinatorial optimization problems. We outline the results below. Algorithms for scientific computing require modules, i.e., building blocks, implementing elementary numerical functions that have well-controlled numerical error, are uniformly scalable and reversible, and that can be implemented efficiently. We derive quantum algorithms and circuits for computing square roots, logarithms, and arbitrary fractional powers, and derive worst-case error and cost bounds. We describe a modular approach to quantum algorithm design as a first step towards numerical standards and mathematical libraries for quantum scientific computing. A fundamental but computationally hard problem in physics is to solve the time-independent Schrödinger equation. This is accomplished by computing the eigenvalues of the corresponding Hamiltonian operator. The eigenvalues describe the different energy levels of a system. The cost of classical deterministic algorithms computing these eigenvalues grows exponentially with the number of system degrees of freedom. The number of degrees of freedom is typically proportional to the number of particles in a physical system. We show an efficient quantum algorithm for approximating a constant number of low-order eigenvalues of a Hamiltonian using a perturbation approach. We apply this algorithm to a special case of the Schrödinger equation and show that our algorithm succeeds with high probability, and has cost that scales polynomially with the number of degrees of freedom and the reciprocal of the desired accuracy. This improves and extends earlier results on quantum algorithms for estimating the ground state energy. We consider the simulation of quantum mechanical systems on a quantum computer. We show a novel divide and conquer approach for Hamiltonian simulation. Using the Hamiltonian structure, we can obtain faster simulation algorithms. Considering a sum of Hamiltonians we split them into groups, simulate each group separately, and combine the partial results. Simulation is customized to take advantage of the properties of each group, and hence yield refined bounds to the overall simulation cost. We illustrate our results using the electronic structure problem of quantum chemistry, where we obtain significantly improved cost estimates under mild assumptions. We turn to combinatorial optimization problems. An important open question is whether quantum computers provide advantages for the approximation of classically hard combinatorial problems. A promising recently proposed approach of Farhi et al. is the Quantum Approximate Optimization Algorithm (QAOA). We study the application of QAOA to the Maximum Cut problem, and derive analytic performance bounds for the lowest circuit-depth realization, for both general and special classes of graphs. Along the way, we develop a general procedure for analyzing the performance of QAOA for other problems, and show an example demonstrating the difficulty of obtaining similar results for greater depth. We show a generalization of QAOA and its application to wider classes of combinatorial optimization problems, in particular, problems with feasibility constraints. We introduce the Quantum Alternating Operator Ansatz, which utilizes more general unitary operators than the original QAOA proposal. Our framework facilitates low-resource implementations for many applications which may be particularly suitable for early quantum computers. We specify design criteria, and develop a set of results and tools for mapping diverse problems to explicit quantum circuits. We derive constructions for several important prototypical problems including Maximum Independent Set, Graph Coloring, and the Traveling Salesman problem, and show appealing resource cost estimates for their implementations.

研究の動機と目的

• 平方根、対数、分数乗などの基本的数値関数のためのモジュラーで可逆的かつ誤差制御可能な量子アルゴリズムの開発。
• 量子多体系におけるハミルトニアンの低次の固有値を近似するための効率的量子アルゴリズムの設計。古典的指数スケーリングを克服する。
• グループ固有の構造を活用する分割統治戦略により、ハミルトニアンシミュレーションのコストを低減する。
• 制約付き組合せ最適化問題を扱えるようにQAOAフレームワークを一般化する。
• 最大独立集合、グラフ彩色、巡回セールスマン問題といった代表的なNP困難問題の具体的な量子回路構成とリソース推定を提供する。

提案手法

• 境界付き最悪ケース誤差と可逆ゲート分解を用いた反復的近似技術により、基本関数のための量子回路を設計する。
• 量子位相推定を用い、制御された誤差と成功確率を確保することで、ハミルトニアンの低次の固有値を摂動的アプローチで推定する。
• ハミルトニアンを部分群に分割し、各グループに対して特化した技術でシミュレーションを実行し、量子回路合成により結果を統合する分割統治戦略を実装する。
• 非アーベル的かつ非移動的ユニタリ演算子を用いることで、問題制約をよりよく符号化する量子交互作用オペレータアンザッツを導入し、QAOAを一般化する。
• 組合せ最適化問題を量子回路にマップする体系的な手順を構築し、最大独立集合、グラフ彩色、TSPの明示的構成を含む。
• 量子化学の応用において弱い仮定のもとで、システムサイズ、所望の精度、問題固有パrameterに基づくすべてのアルゴリズムのコストバウンドを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 科学的計算タスク（例：平方根や対数の計算）において、モジュラーで可逆的かつ数値的に安定したコンponentsを備えた量子アルゴリズムを設計可能か？
• RQ2 システムサイズおよび逆精度に多項式スケーリングする量子アルゴリズムが、ハミルトニアンの低次の固有値を近似可能であり、古典的指数スケーリングを上回るか？
• RQ3 部分ハミルトニアンの構造的性質を活用することで、分割統治戦略によるハミルトニアンシミュレーションが、よりタイトなコストバウンドを達成可能か？
• RQ4 QAOAフレームワークを制約付き組合せ最適化問題に一般化可能か。また、回路深さを増加させた際の性能トレードオフは何か？
• RQ5 新規アンザッツを用いて代表的なNP困難問題を量子回路にマッピングする際のリソースコストと回路実装は何か？

主な発見

• 境界付き最悪ケース誤差と効率的なゲート数を備えた、平方根、対数、任意の分数乗の計算のための量子回路が構築された。
• 提案された摂動的量子アルゴリズムは、ハミルトニアンの定数個の低次の固有値を、システムサイズおよび逆精度に多項式スケーリングで近似し、高い成功確率を達成した。
• 弱い仮定のもとで、量子化学における電子構造問題に対して、分割統治的ハミルトニアンシミュレーション法が著しく改善されたコスト推定をもたらした。
• 一般化された量子交互作用オペレータアンザッツにより、制約付き最適化問題の低リソース実装が可能となり、最大独立集合、グラフ彩色、巡回セールスマン問題の明示的回路構成が得られた。
• 最大カット問題における最低深さQAOA実装の解析的性能バウンドが導出され、一般および特殊なグラフクラスにおいて、証明可能な性能が示された。
• 浅い回路深さを超えて解析的性能バウンドを拡張することは本質的な課題であることが明らかになり、深すぎるQAOA回路における現在の解析的手法の限界が浮き彫りになった。