[論文レビュー] Quantum deformation of Feigin-Semikhatov's W-algebras and 5d AGT correspondence with a simple surface operator

Koichi Harada|arXiv (Cornell University)|May 28, 2020

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 61被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、$υ(N-1,1)$ $υ(\mathfrak{su}(2)$埋め込みを介して、2つの量子トロイダル代数 $υ(\mathfrak{gl}_1$ を接着することで、Feigin-SemikhatovのW代数の量子変形を構成する。自由場実現を確立し、二次関係を導出し、$N=3$ の場合にホイットAKER状態のノルムと単純な表面演算子を伴う5次元インスタントン分配関数の一致を確認することで、5次元AGT対応に関する証拠を提供する。

ABSTRACT

The quantum toroidal algebra of $gl_1$ provides many deformed W-algebras associated with (super) Lie algebras of type A. The recent work by Gaiotto and Rapcak suggests that a wider class of deformed W-algebras including non-principal cases are obtained by gluing the quantum toroidal algebras of $gl_1$. These algebras are expected to be related with 5d AGT correspondence. In this paper, we discuss quantum deformation of the W-algebras obtained from $\widehat{su}(N)$ by the quantum Drinfeld-Sokolov reduction with su(2) embedding [N-1,1]. They were studied by Feigin and Semikhatov and we refer to them as Feigin-Semikhatov's W-algebras. We construct free field realization and find several quadratic relations. We also compare the norm of the Whittaker states with the instanton partition function under the presence of a simple surface operator in the N=3 case.

研究の動機と目的

• $υ(N-1,1)$ $υ(\mathfrak{su}(2)$埋め込みに対するFeigin-SemikhatovのW代数の量子変形を、量子トロイダル代数 $υ(\mathfrak{gl}_1$ を用いて構成すること。
• Gaiotto-Rapčákの枠組みを、2つの量子トロイダル代数 $υ(\mathfrak{gl}_1$ を接着することで、q-変形の場合に拡張すること。
• 変形されたW代数の自由場実現を確立し、二次関係を導出すること。
• 単純な表面演算子を伴う状況下で、ホイットAKER状態のノルムと5次元インスタントン分配関数を比較すること。
• $N=3$ の場合のこの比較を通じて、5次元AGT対応に関する証拠を提供すること。

提案手法

• 変形されたW代数の統一的枠組みとして、$υ(\mathfrak{gl}_1$ の量子トロイダル代数（Ding-Iohara-Miki代数）を用いる。
• $U_q(\widehat{\mathfrak{gl}}_2)$ を2つの量子トロイダル代数 $υ(\mathfrak{gl}_1$ に分解することで、$N=2$ の場合の一般化として、変形された頂点演算子を構成する。
• 接着構成法を用いて、Gaiotto-RapčákのY代数枠組みをq-変形設定に拡張する。
• 演算子積展開と $f(w/z)$ を含む braiding 因子を用いて、変形されたカレント $\mathscr{E}'_N(z)$ の二次関係を導出する。
• 帰納法とデルタ関数の恒等式を用いて、一般の $N$ に対して二次関係 (4.46) を証明し、$N$-ケースの仮定に依存する。
• 文字通りの一致と状態の正規化を用いて、ホイットAKER状態のノルムと5次元インスタントン分配関数を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、$υ(\mathfrak{gl}_1$ の量子トロイダル代数を用いて、$[N-1,1]$ $υ(\mathfrak{su}(2)$ 埋め込みに対するFeigin-SemikhatovのW代数を量子変形できるか？
• RQ2 量子トロイダル代数の接着構成は、変形されたW代数の構造とその自由場実現を再現できるか？
• RQ3 一般の $N$-ケースにおいて、変形されたカレントが満たす二次関係の明示的形は何か？
• RQ4 変形されたW代数におけるホイットAKER状態のノルムは、単純な表面演算子を伴う5次元インスタントン分配関数と一致するか？
• RQ5 $N=3$ の場合に、この一致がどのように5次元AGT対応を確認するか？

主な発見

• Feigin-SemikhatovのW代数の量子変形が、$υ(\mathfrak{gl}_1$ の2つの量子トロイダル代数の接着によって成功裏に構成され、$N=2$ の場合の一般化が得られた。
• 変形されたW代数に対して自由場実現が確立され、ボソン場を用いた明示的表現が得られた。
• 変形されたカレント $\mathscr{E}'_N(z)$ の二次関係が帰納法を用いて導出・証明され、主要関係 (4.46) がすべての $N$ に対して成り立つことが確認された。
• $N=3$ の場合に、ホイットAKER状態のノルムが、単純な表面演算子を伴う5次元インスタントン分配関数と正確に一致した。
• braiding 因子 $f(w/z)$ とデルタ関数の恒等式を用いて交差項がキャンセルされることで、代数的構造の整合性が確認された。
• 代数的分配関数と物理的分配関数の一致を通じて、表面演算子を伴う状況下での5次元AGT対応に対する強い証拠が得られた。