[論文レビュー] Quantum Groups, the loop Grassmannian, and the Springer resolution

Sergey Arkhipov, Roman Bezrukavnikov+1 more|ArXiv.org|Apr 14, 2003

Advanced Algebra and Geometry参考文献 26被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、奇数次の単位根における量子群表現の主ブロックの導来圏、スプリンガー解体上の $G \times \mathbb{C}^*$-不変な連接層の導来圏、およびラングランズ双対群のループグラスマンニアン上の perverse sheaf の導来圏の間で三角的同値を確立する。主な貢献は、デリーニュ＝ラングランズ＝ルスティグ同型のカテゴリフィケーションであり、これによりループグラスマンニアン上の交差コホモロジーを用いた量子群表現のキャラクターフォーラムが得られる。

ABSTRACT

We establish equivalences of derived categories of the following 3 categories: (1) Principal block of representations of the quantum at a root of 1; (2) G-equivariant coherent sheaves on the Springer resolution; (3) Perverse sheaves on the loop Grassmannian for the Langlands dual group. The equivalence (1)-(2) is an `enhancement' of the known expression for quantum group cohomology in terms of nilpotent variety, due to Ginzburg-Kumar. The equivalence (2)-(3) is a step towards resolving an old mystery surrounding the existense of two completely different realizations of the affine Hecke algebra which have played a key role in the proof of the Deligne-Langlands-Lusztig conjecture. One realization is in terms of locally constant functions on the flag manifold of a p-adic reductive group, while the other is in terms of equivariant K-theory of a complex (Steinberg) variety for the dual group. Our equivalence (2)-(3) may be viewed as a `categorification' of the isomorphism between the corresponding two geometric realizations of the fundamental polynomial representation of the affine Hecke algebra. The composite of the two equivalences above yields an equivalence between abelian categories of quantum group representations and perverse sheaves. A similar equivalence at an even root of unity can be deduced, following Lusztig program, from earlier deep results of Kazhdan-Lusztig and Kashiwara-Tanisaki. Our approach is independent of these results and is totally different (it does not rely on representation theory of Kac-Moody algebras). It also gives way to proving Humphreys' conjectures on tilting U_q(g)-modules, as will be explained in a separate paper.

研究の動機と目的

• 2 つのアフィンヘッケ代数の幾何的実現（1 つは $p$-進フラッグ多様体を介し、もう 1 つはシュタイナーベルク多様体の $K$-理論を介す）の間の同型を、導来圏の層と表現を通じてカテゴリフィケーション化すること。
• 奇数次の単位根における量子群の主ブロックの単純モジュールのキャラクターフォーラムに対する、新たな独立した証明を提供すること。
• 幾何的技法を用いて、ハムフリークスの量子群のティルティングモジュールに関する予想を証明すること。
• 量子群表現の導来圏とループグラスマンニアン上の perverse sheaf の導来圏の間の導来同値を確立すること。

提案手法

• 奇数次の単位根における量子群 $U_q(\mathfrak{g})$ の有限次元表現の導来圏と、スプリンガー解体 $\widetilde{\mathcal{N}}$ 上の $G \times \mathbb{C}^*$-不変な連接層の導来圏との間の導来同値を構成する。
• ラングランズ双対群 $G^\vee$ のループグラスマンニアン $\mathsf{Gr}$ の幾何を用いて、シューベルト層別に構成された perverse sheaf の圏を定義する。
• ワキモト層と正則層の自己拡張を介して、$\mathsf{Gr}$ 上の perverse sheaf の圏と $\widetilde{\mathcal{N}}$ 上の不変連接層の圏との間の幾何的同値を確立する。
• $\operatorname{Ext}^\bullet_{D^b(\mathsf{Gr})}(\mathbf{1}_{\mathsf{Gr}}, \mathcal{R}) \simeq \mathbb{C}[\mathcal{N}]$ の同型を活用し、グラスマンニアンのコホモロジーとノルムコーンとの関係を確立する。
• スペクトル系列と五つの補題を用いて、単位元におけるファイバー関手の標準的準同型が同型であることを証明し、アーベル圏レベルでの同値を確立する。
• 分解定理と畳み込みの半単純性を用いて、$t$-構造と整合性を持たせ、アーベル圏同値を誘導する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2 つのアフィンヘッケ代数の幾何的実現（1 つは $p$-進フラッグ多様体を介し、もう 1 つは $K$-理論を介す）の間の同型を、導来圏の層と表現を通じてカテゴリフィケーション化できるか？
• RQ2 ループグラスマンニアンとスプリンガー解体を用いた、単位根における量子群表現の幾何的構成は可能か？
• RQ3 主ブロックの $U_q(\mathfrak{g})$-単純モジュールのキャラクターフォーラムは、ループグラスマンニアン上の交差コホモロジー層を用いて表現可能か？
• RQ4 奇数次の単位根における量子群表現の導来圏は、$\widetilde{\mathcal{N}}$ 上の連接層を用いた幾何的モデルを有するか？
• RQ5 量子群表現の導来圏とループグラスマンニアン上の perverse sheaf の導来圏の間の同値は、アーベル圏の同値に引き上げ可能か？

主な発見

• 本稿は、$D_{\text{quantum}}(\mathfrak{g})$、$D^{G}_{\text{coherent}}(\widetilde{\mathcal{N}})$、および $D_{\text{perverse}}(\mathsf{Gr})$ の間で三角的同値を確立し、量子群表現理論と幾何的ラングランズ双対性を結びつける。
• 合成同値はアーベル圏同値 $\mathsf{block}(\mathsf{U}) \simeq \mathcal{P}\!{erv}(\mathsf{Gr})$ を誘導し、量子群表現の幾何的実現を提供する。
• 同値は、ループグラスマンニアン上の交差コホモロジー層として、ルスティグの単純 $U_q(\mathfrak{g})$-モジュールのキャラクターフォーラムの多重度公式を実現する。
• すべての $M$ に対して、標準的準同型 $\vartheta: F_e(M) \to H^\bullet(\mathsf{Gr}, \mathcal{P}M)$ が同型であることが、スペクトル系列と五つの補題を用いて証明される。
• 同値は $t$-構造と整合性を持つため、幾何的構成がアーベル圏構造を保存し、キャラクターフォーラムをもたらす。
• 本手法はカジワラ＝ルスティグ理論およびカシワラ＝タニシキ理論に依存せず、単位根における量子群表現理論の新たな幾何的アプローチを提供する。