[論文レビュー] Quantum Information Complexity and Amortized Communication

Dave Touchette|arXiv (Cornell University)|Apr 14, 2014

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 36被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、二部量子チャネルにおける量子状態再構成タスクを根拠として、量子情報複雑度の新しい操作的定義を導入する。この複雑度は、与えられた状態におけるチャネルのアモアタイズド量子通信複雑度と正確に一致し、古典的結果を一般化するとともに、シューマッハャーの情報圧縮定理の量子版を提供する。

ABSTRACT

We define a new notion of information cost for quantum protocols, and a corresponding notion of quantum information complexity for bipartite quantum channels, and then investigate the properties of such quantities. These are the fully quantum generalizations of the analogous quantities for bipartite classical functions that have found many applications recently, in particular for proving communication complexity lower bounds. Our definition is strongly tied to the quantum state redistribution task. Previous attempts have been made to define such a quantity for quantum protocols, with particular applications in mind; our notion differs from these in many respects. First, it directly provides a lower bound on the quantum communication cost, independent of the number of rounds of the underlying protocol. Secondly, we provide an operational interpretation for quantum information complexity: we show that it is exactly equal to the amortized quantum communication complexity of a bipartite channel on a given state. This generalizes a result of Braverman and Rao to quantum protocols, and even strengthens the classical result in a bounded round scenario. Also, this provides an analogue of the Schumacher source compression theorem for interactive quantum protocols, and answers a question raised by Braverman. We also discuss some potential applications to quantum communication complexity lower bounds by specializing our definition for classical functions and inputs. Building on work of Jain, Radhakrishnan and Sen, we provide new evidence suggesting that the bounded round quantum communication complexity of the disjointness function is Ω(n/M + M), for M-message protocols. This would match the best known upper bound.

研究の動機と目的

• 量子プロトコルおよびチャネルに適用可能な、完全に量子的な古典的情報複雑度の一般化を定義すること。
• 二部チャネルにおけるアモアタイズド量子通信コストとしての量子情報複雑度の操作的解釈を提供すること。
• 量子情報コストに関する未解決の問題を解消し、通信複雑度の下界と直接的な関係を確立すること。
• ブレイバーマンとローの古典的結果を量子設定に一般化し、有界ラウンドの状況を含むこと。
• インタラクティブプロトコルにおけるシューマッハャーの情報圧縮定理の量子版を提供すること。

提案手法

• 本稿は、量子状態再構成プロトコルを基盤とする構築ブロックとして用いて、量子情報複雑度を定義する。
• プレイヤーとレフェリーの量子レジスタを区別し、チェインルールおよびマルコフ条件を適用することで、量子プロトコルにおける新規な外部情報コストを導入する。
• 量子プロトコルにおける漸近的通信レートをモデル化するために、状態再構成の繰り返し適用を活用する。
• アリス、ボブ、およびレフェリーの間で共有される三部量子もつれ状態を用いて、外部観測者との通信をモデル化する。
• 量子もつれとノーコピーサイエンスの定理を考慮することで、古典的情報コスト定義の一般化を実現する。
• 相互情報量と条件付きエントロピーを用いた量子情報理論の技術を適用し、プロトコルのラウンド数に依存しない通信コストの下界を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 プロトコルのラウンド数に依存しない量子通信コストの下界を提供する、完全に量子的な古典的情報複雑度の一般化を定義できるか？
• RQ2 二部チャネルにおけるアモアタイズド量子通信コストとしての量子情報複雑度に、操作的解釈は存在するか？
• RQ3 有界ラウンドプロトコルにおいて、量子情報複雑度はディスジョインネス関数の既知の上界と一致するか？
• RQ4 量子情報コストを用いて、量子通信複雑度における新たな下界を導出できるか？
• RQ5 事前に共有されたもつれ状態および量子通信の存在が、情報コストの定義と操作的意味にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 提案された量子情報複雑度は、与えられた入力状態における二部チャネルのアモアタイズド量子通信複雑度と正確に一致する。
• この結果は、古典的結果のブレイバーマンとローのものから量子領域に一般化され、特に有界ラウンドの状況で強化されている。
• 定義により、インタラクティブプロトコルにおけるシューマッハャーの情報圧縮定理の量子版が得られる。
• 本稿は、ディスジョインネス関数の有界ラウンド量子通信複雑度が Ω(n/M + M) であるという新たな証拠を提供し、既知の最良の上界と一致する。
• 量子情報コストは、ラウンド数に依存せず、以前の定義が M·C に比例するのとは対照的である。
• 繰り返しの状態再構成を介して操作的解釈が導かれる。これにより、漸近的領域における情報コストと達成可能な通信レートとの直接的な関係が確立される。