[論文レビュー] Quantum Kolmogorov Complexity and the Quantum Turing Machine

Markus P. Mueller|ArXiv.org|Dec 28, 2007

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 40被引用数 15

ひとこと要約

この論文は、与えられた量子状態を生成するために必要な最小の量子入力長として、量子コルモゴロフ複雑度を形式化する。ユニバーサル量子チューリングマシン（QTM）が確率1で停止することを証明し、量子複雑度が加法的定数の違いを除いて不変であることを示し、古典的ストリングの量子複雑度が定数の違いを除いて古典的複雑度と一致することを示す。さらに、圧縮不能性の定理を証明し、エルゴディックな量子情報源に対して、複雑度率とエントロピー率がほとんど確実に一致することを示す。

ABSTRACT

The purpose of this thesis is to give a formal definition of quantum Kolmogorov complexity (QC), and rigorous mathematical proofs of its basic properties. The definition used here is similar to that by Berthiaume, van Dam, and Laplante. It defines the QC of some indeterminate-length qubit string ρas the minimum base length of any quantum input which makes a quantum Turing machine (QTM) halt and output ρ, up to some error tolerance. First, we prove that there is a QTM which is universal in the sense of input base length. Furthermore, we show several general properties of QTMs, including a result on mutually orthogonal ``halting spaces'', and a way to transform every almost-halting input into a deterministically-halting input by adding at most a constant number of qubits. Afterwards, we apply these results to QC. In particular, we show that QC is invariant, incompressible, agrees with classical Kolmogorov complexity for classical strings, and is closely related to von Neumann entropy for ergodic quantum information sources.

研究の動機と目的

• 古典的アルゴリズム的情報理論を量子領域へ拡張するための、量子コルモゴロフ複雑度の厳密な数学的基盤を提供すること。
• 従来の研究よりも数学的に精密なレベルで、量子チューリングマシン（QTM）モデルを形式化すること。
• ユニバーサルQTMの選択に依存しない量子コルモゴロフ複雑度が、加法的定数の違いを除いて不変であることを証明すること。
• 古典的ストリングに対して、量子複雑度が古典的複雑度と一貫することを確立すること。
• エルゴディックな量子情報源における量子複雑度率とエントロピー率の関係を調査すること。

提案手法

• ベルンシュタインとヴァジラニのフレームワークに基づくユニバーサルQTMの構築を行い、その存在を証明し、任意の時間ステップ数に対して確率1で停止することを示す。
• 解析的推定とトレースノルムの不等式を用いて、停止にほぼ近い入力を、高々定数個のキュービットを追加することで完全に停止させるように修正できることを示す。
• 制御状態の安定性と量子操作の収縮性を応用し、小さな入力摂動に対して停止確率の差を抑えられることを示す。
• 長さ演算子とトレースクラスの形式的枠組みを用いて、異なるキュービット数のストリング長のヒルベルト空間上での平均長と量子状態の時間発展を定義する。
• トレース距離と部分トレースを用いて、QTMモデルにおける時間ステップごとの量子状態の時間発展を分析する。
• エルゴディックな量子情報源に関する結果を応用し、測度論的議論を用いて複雑度率とエントロピー率を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の他のQTMをシミュレートでき、かつ任意の時間ステップ数に対して確率1で停止するユニバーサル量子チューリングマシンは存在するか？
• RQ2 ユニバーサルQTMの選択に依存しない量子コルモゴロフ複雑度は、加法的定数の違いを除いて不変か？
• RQ3 古典的バイナリストリングに対して、量子コルモゴロフ複雑度は古典的コルモゴロフ複雑度とどのように関係するか？
• RQ4 量子状態の圧縮不能性の割合は何か？低複雑度を持つ状態はどれくらいの数が存在するか？
• RQ5 エルゴディックな量子情報源に対して、複雑度率とエントロピー率はほとんど確実に一致するか？

主な発見

• 任意の時間ステップ数に対して、他のすべてのQTMをシミュレートでき、かつ確率1で停止するユニバーサルQTMが存在する。
• 停止にほぼ近い入力を、高々定数個のキュービットを追加することで完全に停止させるように修正でき、量子コルモゴロフ複雑度の不変性が確立される。
• 古典的バイナリストリングの量子コルモゴロフ複雑度は、定数の違いを除いて、それらの古典的コルモゴロフ複雑度と一致する。
• 圧縮不能性の定理が存在し、低量子コルモゴロフ複雑度を持つ量子状態は、全体の少数に限られることを示す。
• エルゴディックな量子情報源に対して、量子複雑度率とエントロピー率は確率1で等しい。
• これらの結果は、量子コルモゴロフ複雑度が統計力学において、典型的な量子状態を特徴付ける応用可能性を示唆している。