[論文レビュー] Quantum Mechanics with Complex Time : A Comment to the Paper by Rajeev

Kazuyuki Fujii|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2007

Quantum Mechanics and Applications参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、減衰する調和振動子に対して複素数のハミルトニアンを再定式化し、そのような系が、実時間ではなく複素数時間における標準的量子力学によって同等に記述できることを示している。複素時間変数 τ = (1 − iγ/ω₁)t を導入することで、散逸的ダイナミクスが実ハミルトニアンのもとでのユニタリ時間発展に写像され、物理的整合性を保ちつつ、標準的な量子化手法を可能にする。

ABSTRACT

In (quant-ph/0701141) Rajeev studied quantization of the damped simple harmonic oscillator and introduced a complex-valued Hamiltonian (which is normal). In this note we point out that the quantization is interpreted as a quantum mechanics with {\bf complex time}. We also present a problem on quantization of classical control systems.

研究の動機と目的

• 減衰する調和振動子のRajeevによる複素数ハミルトニアン形式を、複素時間を用いた量子理論として再解釈すること。
• 散逸的系の時間発展が、複素時間枠組み内でのユニタリ発展として再定式化可能であることを示すこと。
• 減衰パラメータ γ に依存しないように、減衰の存在下でも基底状態エネルギーの物理的整合性を保つために、その独立性を強制すること。
• 外部古典場を伴う古典的制御系を量子化する際の基礎的問題を提起すること。これは、量子計算およびデコherence制御に関連する。

提案手法

• 状態変数 (x, p) を用いて、古典的減衰調和振動子を線形系に変換し、行列方程式 dX/dt = AX を得る。
• ユニタリ変換により行列 A を対角化し、複素変数 z と z* を定義する。これらは複素固有値をもつ方程式 dz/dt = λ₋z および dz*/dt = λ₊z* を満たす。
• ポisson括弧を用いて正しい古典的ダイナミクスを生成する複素数ハミルトニアン H̃ = (ω₁ − iγ)zz* を導入する。
• z → a† および z* → ħa と写像することで正準量子化を適用し、非エルミートハミルトニアン H = ħ(ω₁ − iγ)(a†a + ½) を得るが、基底状態エネルギーが実数となるように補正する。
• 複素時間 τ = (1 − iγ/ω₁)t を導入することで、散逸的ダイナミクスが実ハミルトニアン H̃ = ħω₁(a†a + ½) におけるユニタリ時間発展に写像されることを示す。
• 複素時間 τ における時間発展演算子 e⁻ⁱᵗᴴ および e⁻ⁱᵀᴴ を導出し、長時間極限において基底状態に収束することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素数ハミルトニアンを用いた減衰調和振動子の量子化を、一貫性を持って複素時間を用いた標準的量子理論として再解釈できるか？
• RQ2 減衰の存在下でも、複素時間の導入がユニタリ性と物理的整合性をどのように保っているか？
• RQ3 減衰量子系における基底状態エネルギーの適切な取り扱い方とは何か？ これにより、γ → 0 の極限で物理的整合性が保たれるようにする。
• RQ4 古典的外部場 f(t) を、場自体を量子化しないまま、量子化された散逸的系にどのように組み込むことができるか？
• RQ5 この複素時間形式化が、量子計算系におけるデコherenceのモデリングに及ぼす影響は何か？

主な発見

• 複素数ハミルトニアンのもとでの減衰振動子の時間発展は、波動関数に e⁻ⁱᵗℏω/₂ の位相を付加しながら、漸近的に基底状態 |0⟩ に近づく。
• 複素時間 τ = (1 − iγ/ω₁)t により、非ユニタリな散逸的ダイナミクスが、実ハミルトニアン H̃ = ħω₁(a†a + ½) におけるユニタリ発展に写像され、標準的量子力学的構造が回復される。
• エネルギー準位は、n ≥ 0 に対して ħ(ω₁ − iγ)n + ħω/2 として再定義され、基底状態エネルギーが実数であり、γ に依存しないことが保証され、γ = 0 の極限と整合的である。
• 複素時間形式化により、ユニタリ発展を用いて古典的解 x(t) = A e⁻ᵞᵗ sin(ω₁t + θ) が回復され、古典的減衰と整合的であることが確認される。
• 複素時間 τ における時間発展は |ψ(τ)⟩ = e⁻ⁱᵗℏω/₂ ∑ₙ ψₙ e⁻ⁱᵗℏω₁ₙ |n⟩ を与え、τ の虚部に起因する振幅の指数的減衰が現れる。
• 本稿では、古典的外部場 f(t) で駆動される量子化された散逸的系を制御する方法に関する重要な未解決問題を特定している。これは、量子計算におけるデコherence制御に関連する。