[論文レビュー] Quantum phase transition between symmetry enriched topological phases in tensor-network states

Lukas Haller, Wen-Tao Xu+2 more|arXiv (Cornell University)|May 3, 2023

Quantum many-body systems参考文献 74被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、時間反転対称性を有する2次元装飾トーリックコードにおける、対称性拡張トポロジカル（SET）相の間の連続的量子臨界転移を実現するテンソルネットワーク可解モデルを提案する。ボンド次元 $D=3$ のテンソルネットワークを用いて、トポロジカルな量子もつれエントロピーと膜オーダーパラメータによって区別される3つの相——SETトーリックコード、自明なトーリックコード、トポロジカルに自明な相——を同定した。相の境界には、$c=1$ conformal field theory に従う $O(2)$ ループガス臨界点が存在する。

ABSTRACT

Quantum phase transitions between different topologically ordered phases exhibit rich structures and are generically challenging to study in microscopic lattice models. In this work, we propose a tensor-network solvable model that allows us to tune between different symmetry enriched topological (SET) phases. Concretely, we consider a decorated two-dimensional toric code model for which the ground state can be expressed as a two-dimensional tensor-network state with bond dimension $D=3$ and two tunable parameters. We find that the time-reversal (TR) symmetric system exhibits three distinct phases (i) an SET toric code phase in which anyons transform non-trivially under TR, (ii) a toric code phase in which TR does not fractionalize, and (iii) a topologically trivial phase that is adiabatically connected to a product state. We characterize the different phases using the topological entanglement entropy and a membrane order parameter that distinguishes the two SET phases. Along the phase boundary between the SET toric code phase and the toric code phase, the model has an enhanced $U(1)$ symmetry and the ground state is a quantum critical loop gas wavefunction whose squared norm is equivalent to the partition function of the classical $O(2)$ model. By duality transformations, this tensor-network solvable model can also be used to describe transitions between SET double-semion phases and between $\mathbb{Z}_2 imes\mathbb{Z}_2^T$ symmetry protected topological phases in two dimensions.

研究の動機と目的

• 異なる対称性拡張トポロジカル（SET）相の間の連続的量子臨界転移を実現する可解な微視的モデルを構築すること。
• 時間反転対称性が異なるSET相における任意onsにどのように分数化するかを特定すること。
• U(1)対称性が強化された臨界点を同定・分析すること。
• テンソルネットワークが2次元量子系におけるトポロジカル秩序、対称性分数化、相転移を捉える有効性を示すこと。

提案手法

• 基底状態は、2つの調整可能なパラメータを有するボンド次元 $D=3$ の2次元テンソルネットワーク状態（TNS）として構築された。
• モデルは、トーリックコードのループに1次元対称性保護トポロジカル（SPT）鎖を装飾することで構築され、任意onsに対称性の分数化を可能にした。
• 相の区別には、数値的に計算されたトポロジカルなもつれエントロピー（TEE）と膜オーダーパラメータが用いられた。
• 双対性を用いた解析により、臨界点は波動関数の振幅が古典的 $O(2)$ ループモデルの分配関数に写像されることを示した。
• 臨界挙動が中心指数 $c=1$ のコンパクト化自由ボソンCFTによって記述されることを確認した。
• TNS形式により、固定点移動作用素を用いて $N \to \infty$ の極限で第二リーマンエントロピーと TEE を正確に計算可能となった。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可解なテンソルネットワークモデルは、時間反転対称性を有する異なるSET相の間で連続的量子臨界転移を実現できるか？
• RQ2 SETトーリックコード相と自明なトーリックコード相において、時間反転対称性が任意onsにどのように分数化するか？
• RQ3 2つのSET相を分かつ臨界点の性質は何か？また、対称性が強化されているか？
• RQ4 臨界挙動は既知の古典的統計モデルに写像可能か？その conformal field theory 述語は何か？
• RQ5 トポロジカルなもつれエントロピーと膜オーダーパラメータは、モデル内の異なる相をどのように区別するか？

主な発見

• 本モデルは3つの異なる相を実現した：時間反転対称性の非自明な分数化を示すSETトーリックコード相、分数化を示さない自明なトーリックコード相、および積状態と断続的に接続可能なトポロジカルに自明な相。
• SETトーリックコード相と自明なトーリックコード相の間の相転移は連続的であり、臨界点で強化された $U(1)$ 対称性を示した。
• 臨界波動関数は量子ループガスであり、その二乗ノルムは中心指数 $c=1$ の古典的 $O(2)$ ループモデルの分配関数に写像される。
• 膜オーダーパラメータは2つのSET相を効果的に区別でき、異なる対称性分数化パターンを確認した。
• SETトーリックコード相ではトポロジカルもつれエントロピー（TEE）が $\gamma = \log 2$ に量子化され、自明な相ではゼロとなる。これはトポロジカル秩序と整合的である。
• SET-TC相におけるもつれスペクトルは、Kramersの定理により $\mathbf{e}$ および $\mathbf{f}$ 任意onsセクターで偶数重の degeneracy を示し、時間反転対称性の分数化を確認した。