[論文レビュー] Quantum Theory over a Galois Field and Applications to Gravity and Particle Theory

Felix M. Lev|arXiv (Cornell University)|Apr 24, 2011

Quantum Mechanics and Applications参考文献 89被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、特徴が大きなガロア体 $p$ を用いた量子理論の再定式化を提案し、重力と宇宙論的加速が、ダークエネルギーや時空背景を必要とせず、デシータ対称性から力学的に生じることを主張している。このアプローチでは、重力を自然の有限性の結果として扱い、電荷およびバリオン／レプトン数の近似的保存を導き、真に基本的な粒子は唯一ディラックシングルトンであると示唆している。

ABSTRACT

We argue that the main reason of crisis in quantum physics is that nature, which is fundamentally discrete, is described by continuous mathematics. Moreover, no ultimate physical theory can be based on continuous mathematics because, as follows from G\{o}del's incompleteness theorems, that mathematics is not self-consistent. In the first part of the work we discuss inconsistencies in standard approach to quantum theory and reformulate the theory such that it can be naturally generalized to a formulation based on discrete mathematics. It is shown that the cosmological acceleration and gravity can be treated simply as {\it kinematical} manifestations of de Sitter symmetry on quantum level ({\it i.e. for describing those phenomena the notions of dark energy, space-time background and gravitational interaction are not needed}). In the second part of the work we argue that fundamental quantum theory should be based on a Galois field with a large characteristic $p$. In this approach the de Sitter gravitational constant depends on $p$ and disappears in the formal limit $p o\infty$, i.e. gravity is a consequence of finiteness of nature. The application of the approach to particle theory gives the following results: a) no neutral elementary particles can exist; b) the electric charge and the baryon and lepton quantum numbers can be only approximately conserved (i.e. the notion of a particle and its antiparticle is only approximate). We also consider a possibility that only Dirac singletons can be true elementary particles.

研究の動機と目的

• 連続数学に依存する量子物理学の基礎的危機を解消すること。これは、ゲーデルの定理により、連続数学が本質的に一貫性を持たないからである。
• 特に特徴が大きな $p$ のガロワ体に基づく有限体に依存する離散的数学的枠組みにおいて、量子理論を再定式化すること。
• 宇宙論的加速と重力が、ダークエネルギーや重力相互作用を必要とせず、デシータ対称性の力学的効果として生じることを示すこと。
• 粒子の保存則に新たな制約を導出し、電荷およびバリオン／レプトン数が僅かにしか保存されないことを示唆すること。
• この離散的量子枠組みにおいて、唯一ディラックシングルトンが真に基本的な粒子である可能性を検討すること。

提案手法

• 特徴が大きな $p$ のガロワ体 $\mathbb{F}_p$ 上で量子理論を定式化し、連続ヒルベルト空間の代わりに $\mathbb{F}_p$ 上の有限次元ベクトル空間を用いる。
• 量子レベルでの基本的時空対称性としてデシータ対称性を用い、重力場を導入することなく、加速や重力といった力学的効果を導出する。
• 重力定数を $p$ の関数として定義し、$p \to \infty$ の極限でゼロになることを示し、重力が有限性から生じることを示唆する。
• 離散的枠組みを素粒子理論に適用し、有限体の文脈における量子数と保存則を分析する。
• 有限体におけるデシータ群の表現論を分析し、特にディラックシングルトンに注目して、可能な基本粒子を同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続数学の代わりに、有限なガロワ体上で量子理論を一貫して定式化できるか？
• RQ2 ダークエネルギーもしくは時空幾何学を導入せず、デシータ対称性のみで宇宙論的加速と重力を力学的効果として生成できるか？
• RQ3 $\mathbb{F}_p$ 上の離散的量子理論において、電荷、バリオン数、レプトン数の保存則はどのように生じるか？
• RQ4 体の特徴 $p$ が重力の強さおよび基本粒子の存在に果たす役割は何か？
• RQ5 この離散的量子枠組みにおいて、ディラックシングルトンが真に基本的な粒子の唯一の候補であるか？

主な発見

• 重力と宇宙論的加速が、時空背景や重力相互作用を必要とせず、離散的量子枠組みにおけるデシータ対称性の力学的結果として示された。
• 重力定数はガロワ体の特徴 $p$ に依存し、$p \to \infty$ の極限でゼロになるため、重力が自然の有限性から生じることを示唆している。
• 基本粒子は厳密に中性ではあり得ない。理論の離散的構造が、中性状態における電荷の正確な保存を禁止している。
• 電荷、バリオン数、レプトン数は僅かにしか保存されず、この枠組みでは粒子と反粒子の概念が近似的にしか成り立たないことを示唆している。
• ディラックシングルトンのみが、この離散的対称性と保存則制約を一貫して満たすため、真に基本的な粒子と見なされる。