[論文レビュー] Quantum toroidal algebras and solvable structures in gauge/string theory

Yutaka Matsuo, Satoshi Nawata+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2023

Algebraic structures and combinatorial modelsMathematics参考文献 323被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、2次元共形場理論、超対称ゲージ理論、および弦理論における可解構造を統一する代数的枠組みとして、gl1の量子トロイダル代数を確立する。表現論を通じてアフィンヤンギアン、二重アフィンヘッケ代数（DAHA）、およびW代数を体系的に結びつけ、インターヴァリアンツとマクドナルド関数が5次元N=1ゲージ理論およびトポロジカル弦理論におけるトポロジカル・バーテックス振幅とqqキャラクターを実現することを示している。

ABSTRACT

This is a review article on the quantum toroidal algebras, focusing on their roles in various solvable structures of 2d conformal field theory, supersymmetric gauge theory, and string theory. Using $\mathcal{W}$-algebras as our starting point, we elucidate the interconnection of affine Yangians, quantum toroidal algebras, and double affine Hecke algebras. Our exploration delves into the representation theory of the quantum toroidal algebra of $\mathfrak{gl}_1$ in full detail, highlighting its connections to partitions, $\mathcal{W}$-algebras, Macdonald functions, and the notion of intertwiners. Further, we also discuss integrable models constructed on Fock spaces and associated $\mathcal{R}$-matrices, both for the affine Yangian and the quantum toroidal algebra of $\mathfrak{gl}_1$. The article then demonstrates how quantum toroidal algebras serve as a unifying algebraic framework that bridges different areas in physics. Notably, we cover topological string theory and supersymmetric gauge theories with eight supercharges, incorporating the AGT duality. Drawing upon the representation theory of the quantum toroidal algebra of $\mathfrak{gl}_1$, we provide a rather detailed review of its role in the algebraic formulations of topological vertex and $qq$-characters. Additionally, we briefly touch upon the corner vertex operator algebras and quiver quantum toroidal algebras.

研究の動機と目的

• 2次元CFT、超対称ゲージ理論、および弦理論における可解モデルを統一する中心的代数的構造として、gl1の量子トロイダル代数を確立すること。
• 表現論を通じて、アフィンヤンギアン、量子トロイダル代数、および二重アフィンヘッケ代数（DAHA）の間の関係を明確にすること。
• gl1の量子トロイダル代数のフォック空間表現とインターヴァリアンツが、トポロジカル・バーテックス振幅とインスタントン分配関数をどのように実現するかを示すこと。
• 量子トロイダル代数の表現論を用いて、AGT双対性およびqqキャラクターの代数的定式化を提供すること。
• マクドナルド対称関数およびスクリーニングカレントが、W代数における可積分モデルおよび最小模型を構成する役割を明らかにすること。

提案手法

• 量子トロイダル代数のgl1を、変形および量子化を用いてW1+∞-代数およびW∞[µ]-代数から導出する。
• フォック空間、マクマロン表現、およびテンソル積を用いて、量子トロイダル代数の縦方向および横方向の表現を構成する。
• インターヴァリアンツを用いてフォック表現間の写像を構築し、Maulik-Okounkovの構成によりR行列を導出する。
• 頂点演算子代数の技法とトーリックCalabi-Yau幾何学を用いて、Uq1,q2,q3(¨gl1)のインターヴァリアンツからトポロジカル・バーテックスを導出する。
• Nekrasov因子とY関数の再帰的関係を用いて、インスタントン分配関数およびqqキャラクターを表現する。
• ドリンフェルトカレントとインターヴァリアンツの縮約公式を用いて行列要素を計算し、代数的恒等式を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 gl1の量子トロイダル代数は、可解量子場理論におけるアフィンヤンギアン、DAHA、W代数をどのように統一するか？
• RQ2 マクドナルド対称関数およびインターヴァリアンツが、トポロジカル・バーテックス振幅を実現するにあたり果たす明確な役割は何か？
• RQ3 スクリーニングカレントおよび表現の退化は、WN最小模型およびq-変形W代数をどのように導くか？
• RQ4 gl1の量子トロイダル代数のインターヴァリアンツは、Nekrasov分配関数およびqqキャラクターをどのように再現するか？
• RQ5 量子トロイダル代数の代数的構造は、5次元N=1ゲージ理論におけるAGT双対性を体系的に導出するにあたり、どのように寄与するか？

主な発見

• gl1の量子トロイダル代数は、共通の表現論を通じて、アフィンヤンギアン、DAHA、W代数を統一する普遍的な代数的枠組みを提供する。
• gl1の量子トロイダル代数のインターヴァリアンツは、フォック空間上の3点関数としてトポロジカル・バーテックスを実現し、マクドナルド関数を用いた明示的表現を持つ。
• 純粋なスーパーヤンミルズ理論および線形クオーバー・ゲージ理論のNekrasov分配関数は、インターヴァリアンツおよびNekrasov因子の再帰的関係から代数的に導出される。
• 5次元N=1ゲージ理論におけるqqキャラクターは、欠損分配関数およびアフィンヤンギアンから構成され、Y関数およびスクリーニングカレントを含む明示的表現を持つ。
• WN最小模型は、gl1のアフィンヤンギアンの退化として実現され、平面分割および二重制約付き分割がスピンのスペクトルを符号化する。
• 量子トロイダル代数の代数的構造により、インターヴァリアンツおよびフォック空間表現を用いて、AGT双対性の完全な導出が可能となり、インスタントン分配関数およびトポロジカル・バーテックス振幅の明示的公式が得られる。