[論文レビュー] Quantum Versus Classical Proofs and Advice

Scott Aaronson, Greg Kuperberg|arXiv (Cornell University)|Apr 10, 2006

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、QMAとQCMAの間の量子オракル分離を確立し、特定のクエリ複雑度の設定において、量子証明が古典的証明よりも優位であることを示した。nキュービット状態のマーキングを求める際でさえ、古典的記述と量子オラクルを併用した場合でも、Ω(√(2ⁿ/(m+1)))クエリの下界を証明し、この下界にほぼ一致するQCMAプロトコルを提示した。また、従来は量子証明を必要だと考えられていた群非属問題に対しては、古典的証明で十分であることを示した。

ABSTRACT

This paper studies whether quantum proofs are more powerful than classical proofs, or in complexity terms, whether QMA=QCMA. We prove three results about this question. First, we give a "quantum oracle separation" between QMA and QCMA. More concretely, we show that any quantum algorithm needs $Ω(\sqrt{2^n/(m+1)})$ queries to find an $n$-qubit "marked state" $\lvertψ angle$, even if given an $m$-bit classical description of $\lvertψ angle$ together with a quantum black box that recognizes $\lvertψ angle$. Second, we give an explicit QCMA protocol that nearly achieves this lower bound. Third, we show that, in the one previously-known case where quantum proofs seemed to provide an exponential advantage, classical proofs are basically just as powerful. In particular, Watrous gave a QMA protocol for verifying non-membership in finite groups. Under plausible group-theoretic assumptions, we give a QCMA protocol for the same problem. Even with no assumptions, our protocol makes only polynomially many queries to the group oracle. We end with some conjectures about quantum versus classical oracles, and about the possibility of a classical oracle separation between QMA and QCMA.

研究の動機と目的

• 量子複雑度理論において、量子証明（QMA）が古典的証明（QCMA）よりも強力かどうかを調査すること。
• QMA = QCMA かどうかという未解決問題を、両者が異なる相対的世界を構築することで解決すること。
• BQP/qpoly および BQP/poly のクラスにおける、量子的および古典的アドバイスのパワーを分析すること。
• 群非属問題のような既知の問題において、量子証明が指数的優位性を示すかどうかを検討すること。
• QMA と QCMA の間の古典的オラクル分離が可能かどうか、および量子オラクルが複雑度分離において果たす役割を調査すること。

提案手法

• 量子オラクルを、重ね合わせでアクセス可能なユニタリ操作の列として定義し、古典的オラクルを一般化する概念を導入する。
• マーキングされたnキュービット状態を求める際のクエリ下界として、Ω(√(2ⁿ/(m+1)))を証明し、mビットの古典的記述と量子オラクルを併用した場合でも成立することを示す。
• この下界にほぼ一致するQCMAプロトコルを構築し、この設定において古典的証明がほぼ最適であることを示す。
• 多項式係数をもつユニタリ行列を用いた、ブール入力におけるユニタリ行列の異なる値の数を制限するための新規な代数的技法を適用する。
• クリフォード代数の構造と反交換関係を用いて、行列差の制約を導出し、非ゼロの摂動の数の上限を求める。
• k変数における1次複素多項式を成分にもつ任意のユニタリ行列U(X)は、{0,1}^k 上で最大4^N個の異なる値を取り得ることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 QMAとQCMAが分離されるような量子オラクルが存在するか？
• RQ2 マーキングされた状態問題において、古典的証明（QCMA）は量子証明（QMA）と同等のクエリ複雑度を達成できるか？
• RQ3 従来QMAで解決されたとされた群非属問題が、妥当な群論的仮定の下でQCMAプロトコルを有するか？
• RQ4 ブール入力におけるユニタリ行列の変動を制限する手法が、他の複雑度理論的分離に拡張可能か？
• RQ5 QMAとQCMAの間の古典的オラクル分離が可能か、あるいは量子オラクルのアプローチが不可欠か？

主な発見

• QMA^U ≠ QCMA^U を満たす量子オラクルUが存在し、これにより両クラス間の量子オラクル分離が確立された。
• マーキングされたnキュービット状態を求めるには、mビットの古典的記述と量子オラクルを併用した場合でも、少なくともΩ(√(2ⁿ/(m+1)))のクエリが必要である。
• この下界にほぼ一致するQCMAプロトコルが構築され、この文脈において古典的証明が量子証明とほぼ同等のパワーを持つことが示された。
• 群非属問題に対しては、妥当な群論的仮定の下でQCMAプロトコルが与えられ、仮定なしでも群オラクルへのクエリが多項式回に制限される。
• k変数における1次複素多項式を成分にもつユニタリ行列U(X)が{0,1}^k 上で取り得る異なる値の数は、行列サイズNに対して最大4^N個である。
• 解析により、kビットの摂動のうち最大2N個までが非ゼロであり、U(X)の入力変数への有効な依存度が制限されることを示した。