[論文レビュー] Quantum vertex algebras and their phi-coordinated quasi modules

Haisheng Li|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2009

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 30被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、1次元加法的形式群の関連関数 $φ$ を用いた $φ$-coordinated quasi module を用いて、量子頂点代数の一般化された枠組みを導入する。$φ$ を $xe^z$ に特殊化することで、量子アフィン代数から弱い量子頂点代数を構成し、$φ$-coordinated モジュールと量子 $β\gamma$-系の制限モジュールとの間の対応関係を確立する。これにより、量子頂点代数理論における重要な空白が解消される。

ABSTRACT

We develop a theory of $ϕ$-coordinated (quasi) modules for a nonlocal vertex algebra and we establish a conceptual construction of nonlocal vertex algebras and their $ϕ$-coordinated (quasi) modules, where $ϕ$ is what we call an associate of the one-dimensional additive formal group. By specializing $ϕ$ to a particular associate, we obtain a new construction of weak quantum vertex algebras in the sense of \cite{li-qva1}. As an application, we associate weak quantum vertex algebras to quantum affine algebras, and we also associate quantum vertex algebras and $ϕ$-coordinated modules to a certain quantum $βγ$-system.

研究の動機と目的

• 量子アフィン代数に付随する量子頂点代数を構成するという未解決問題を解決すること。これは、頂点代数がアフィンリーダイニエール代数に付随するのと同様である。
• 非局所頂点代数に対する $φ$-coordinated (準) モジュールの一般理論を構築し、頂点代数のモジュール理論を拡張すること。
• 形式群の関連関数を用いて、非局所頂点代数およびその $φ$-coordinated (準) モジュールの概念的構成を確立すること。
• 特殊化 $φ(x,z) = xe^z$ が弱い量子頂点代数をもたらすことを示し、これにより弱い量子頂点代数を量子アフィン代数に一貫して関連付けること。

提案手法

• 1次元加法的形式群 $F_a(x,y) = x+y$ の関連関数 $φ$ を導入し、$φ(x,0) = x$ および $φ(φ(x,y),z) = φ(x,y+z)$ を満たすようにする。
• 生成関数を用いて $φ$-twist 操作の一般化された頂点作用素作用 $Y_{\mathcal{E}}^\phi(a(x),z)b(x) = [a(x_1)b(x)]_{x_1 = \phi(x,z)}$ を定義する。
• ${\mathcal{E}}(W) = \text{Hom}(W,W((x)))$ の準適合部分集合に対して、$Y_{\mathcal{E}}^\phi$ 操作のもとで非局所頂点代数を構成する。
• $φ$-coordinated (準) モジュールの概念を導入し、構成された非局所頂点代数と空間 $W$ を関連付ける。
• ${\mathcal{E}}(W)$ の準 ${\mathcal{S}}_{\text{trig}}$-局所および ${\mathcal{S}}_{\text{trig}}$-局所部分集合を定義し、量子アフィン代数の関係を捉える。
• このような部分集合が $\phi(x,z) = xe^z$ のとき $Y_{\mathcal{E}}^\phi$ に関して弱い量子頂点代数を生成することを証明し、量子アフィン代数および量子 $β\gamma$-系に接続する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非局所頂点代数に対して、量子対称性を捉えることができる一般化されたモジュール理論を開発できるか？
• RQ2 形式群の関連関数 $\phi$ を用いることで、弱い量子頂点代数の一貫性のある構成が可能か？
• RQ3 $φ$-coordinated モジュールを用いて、弱い量子頂点代数を量子アフィン代数に体系的に関連付けることができるか？
• RQ4 量子頂点代数の $φ$-coordinated モジュールと量子 $β\gamma$-系の制限モジュールとの間に、対応関係が存在するか？

主な発見

• 任意の準適合部分集合 $U \subset \mathcal{E}(W)$ に対して、$Y_{\mathcal{E}}^\phi$ は $W$ を $\phi$-coordinated quasi モジュールにもつ非局所頂点代数を生成する。
• $\phi(x,z) = xe^z$ のとき、$\mathcal{E}(W)$ の任意の準 ${\mathcal{S}}_{\text{trig}}$-局所部分集合は、[Li3] の意味で弱い量子頂点代数を生成する。
• ドリンフェルトの実現における量子アフィン代数は、準 ${\mathcal{S}}_{\text{trig}}$-局所部分集合を生成するため、$\phi(x,z) = xe^z$ のとき $Y_{\mathcal{E}}^\phi$ を用いて弱い量子頂点代数を生成する。
• 量子 $β\gamma$-系 $V_q(\beta\gamma)$ は、構造関数 $p(x) = (e^{-x/2} - q e^{x/2})/(1 - q)$ を持つバターチェンス関係を満たす2つのベクトルによって生成される普遍的な弱い量子頂点代数に同型である。
• $\phi(x,z) = xe^z$ のとき、$W$ 上の $φ$-coordinated $V_q(\beta\gamma)$-モジュール構造と $W$ 上の制限 $A_q^{\text{trig}}(\beta\gamma)$-モジュール構造との間に1対1対応がある。
• 量子頂点代数 $V_q(\beta\gamma)$ は $q \neq 1$ のとき、[KL] の普遍性結果および $p(0) = 1$ を満たす $p(x)$ の構造により、非可約であることが示される。