[論文レビュー] Quantum walk on a spin network

Marcelo M. Amaral, Raymond Aschheim+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2016

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、ループ量子重力（LQG）における基本的構造であるスピンネットワーク上の離散時間量子ウォーク（DQW）が、もつれエントロピーを生成し、それによってエンタロピー的力が生じることを提案している。このもつれエントロピーは、重力と質量が量子幾何トポロジーから出現するメカニズムを示唆している。モデルは、粒子の位置をスピンネットワーク上にトポロジカルに符号化しており、バーバロ-イムリッツィパラメータを $\gamma = \frac{\log_2 \phi}{\pi}$ に設定した場合、ノードにおける最大もつれエントロピーが、ベケンシュタイン＝ホーキングブラックホールエントロピーに対応する。これは、時空の動的性質が量子情報に基づいて出現するメカニズムを提供する。

ABSTRACT

We apply a discrete quantum walk from a quantum particle on a discrete quantum spacetime from loop quantum gravity and show that the related Entanglement Entropy can drive a entropic force. We apply this concepts to propose a model of a walker position topologically encoded on a spin network.

研究の動機と目的

• ループ量子重力（LQG）におけるスピンネットワーク上の量子ウォークが、どのように顕在的重力ダイナミクスをモデル化できるかを調査すること。
• 離散的量子時空内でのエンタロピー的力の生成に、もつれエントロピーが果たす役割を調査すること。
• DQWを用いたスピンネットワーク上の粒子位置のトポロジカル符号化を構築し、量子情報と量子幾何を結びつけること。
• DQWフレームワーク内での局所的もつれエントロピーから、ベケンシュタイン＝ホーキングブラックホールエントロピーを回復できることを示すこと。
• 量子ウォークダイナミクス、ホログラフィックホライズン、および質量と時空構造の出現との間の関係を確立すること。

提案手法

• 研究は、固定されたLQGスピンネットワーク背景上に量子粒子をモデル化し、ヒルベルト空間 $\mathcal{H} = \mathcal{H}_{LQG} \otimes \mathcal{H}_P$ を用いる。状態 $\ket{s,x_n}$ は、スピンネットワークの頂点における粒子の位置を符号化する。
• 離散時間量子ウォーク（DQW）は、ユニタリな時間発展 $U = S(C \otimes I)$ により実装され、$S$ は位置と内部状態を交換する操作であり、$C$ はメモリに基づくウォークを用いたSzegedyの形式に基づくコイン演算子である。
• コイン演算子は、グラフ上の古典的ランダムウォークの遷移確率 $P_{mn}$ を用いて、$C = 2\sum_n \ket{\psi_n}\bra{\psi_n} - I$ と定義される。
• 各ノードにおける局所的もつれエントロピーは、$S_{E_n} = \log \sigma - \frac{1}{\sigma} \sum_m j_{mn}(j_{mn}+1) \log(j_{mn}(j_{mn}+1))$ により計算され、ここで $\sigma = \sum_m j_{mn}(j_{mn}+1)$ である。
• 粒子の伝播は、Pachner移動（3-1および1-3）を用いてシミュレートされ、ウォークのダイナミクスはスピンネットワーク上でのDQWの時間発展に従う。
• バーバロ-イムリッツィパラメータを $\gamma = \frac{\log_2 \phi}{\pi}$ に設定することで、ベケンシュタイン＝ホーキングエントロピーが回復され、最大もつれエントロピーを持つノードのエントロピーがプランク単位でのブラックホールホライズン面積に対応する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スピンネットワーク上の離散時間量子ウォークが、もつれエントロピーを介してエンタロピー的力を生成できるか？
• RQ2 スピンネットワーク上の量子ウォークのもつれエントロピーは、ループ量子重力におけるブラックホールエントロピーとどのように関係するか？
• RQ3 DQWによるスピンネットワーク上の位置のトポロジカル符号化から、粒子のダイナミクスと質量が出現できるか？
• RQ4 バーバロ-イムリッツィパラメータ $\gamma$ のどの値が、局所的もつれエントロピーからベケンシュタイン＝ホーキングエントロピーの公式を再現するか？
• RQ5 スピンネットワーク上の量子ウォークダイナミクスは、どのようにホログラフィックホライズンと量子重力効果をシミュレートできるか？

主な発見

• DQWによるスピンネットワーク上のもつれエントロピーがエンタロピー的力を駆動し、量子情報から顕在的重力が出現するメカニズムを示唆している。
• スピンラベル $\{2,2,2\}$（$j=1,1,1$）を持つノードにおける最大局所的もつれエントロピーは $S_{E_n} = 1.09861$ であり、モデル内での最大局所エントロピーを表している。
• $\{2,3,3\}$ ラベル（$j=1,\frac{3}{2},\frac{3}{2}$）を持つノードでは、局所エントロピーは $S_{E_n} = 1.06187$ となり、最大値をわずかに下回る。
• バーバロ-イムリッツィパラメータを $\gamma = \frac{\log_2 \phi}{\pi}$ に設定することで、ベケンシュタイン＝ホーキングエントロピーの公式が回復され、量子ウォークのもつれエントロピーとブラックホール熱力学が結びつく。
• もつれエントロピーの変化 $\triangle S_E = I$ は $I$ ビットの情報に対応し、ノード間のもつれエントロピーの差から質量 $M = I m_p$ が出現する。
• 最大内部もつれエントロピーを持つDQWは、ホログラフィック量子ホライズンをシミュレートする。ここで $\log_2 N(A) = \triangle S_E$ により、発生するベケンシュタイン＝ホーキングエントロピーがビット単位で与えられる。