[論文レビュー] Quantum Walks on Embeddings

Hanmeng Zhan|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2017

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 27被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、向き付け可能グラフ埋め込み上で、弧-面および弧-尾の接続構造を用いて定義される、新しい離散的量子ウォークモデル「頂点-面ウォーク」を導入する。正規化された接続行列に基づく反射を用いてユニタリ遷移行列を構成することで、スペクトル的対応関係を確立し、頂点-面構造が部分幾何的設計を形成する場合、$U^2$ の主対数が向き付けられたグラフを導くことを示した。これにより、量子探索と非古典的ダイナミクスとの関係が明らかになった。

ABSTRACT

We introduce a new type of discrete quantum walks, called vertex-face walks, based on orientable embeddings. We first establish a spectral correspondence between the transition matrix $U$ and the vertex-face incidence structure. Using the incidence graph, we derive a formula for the principal logarithm of $U^2$, and find conditions for its underlying digraph to be an oriented graph. In particular, we show this happens if the vertex-face incidence structure forms a partial geometric design. We also explore properties of vertex-face walks on the covers of a graph. Finally, we study a non-classical behavior of vertex-face walks.

研究の動機と目的

• 向き付け可能グラフ埋め込みに基づく、新しい離散的量子ウォークモデル「頂点-面ウォーク」を定義すること。
• 遷移行列 $U$ と頂点-面接続構造との間のスペクトル的対応関係を確立すること。
• 底辺の有向グラフ $\log(U^2)$ が向き付けられたグラフとなる条件を特定し、特に部分幾何的設計との関連を明らかにすること。
• グラフカバー上の頂点-面ウォークのダイナミクスを調査し、古典的ランダムウォークと比較すること。
• グラフ符号化マップ（gems）を用いて非向き付け可能埋め込みへモデルを拡張し、その可約性とフラッググラフ上のウォークとの同値性を分析すること。

提案手法

• 向き付け可能埋め込みにおける面境界の一貫した向き付けから、弧-面接続行列 $M$ と弧-尾接続行列 $N$ を定義する。
• 行列 $M$ と $N$ を正規化して $\widehat{M}$ と $\widehat{N}$ を得た後、ユニタリ遷移行列 $U = (2\widehat{M}\widehat{M}^T - I)(2\widehat{N}\widehat{N}^T - I)$ を構成する。
• 頂点-面構造の接続グラフを用いて、$U^2$ の主対数の公式を導出する。
• $\log(U^2)$ の有向グラフが向き付けられる条件を特徴づけ、頂点-面構造が部分幾何的設計を形成する場合に限り成立することを示す。
• スペクトル的および組合せ的技法を用いて、グラフカバー上の頂点-面ウォークを分析する。
• グラフ符号化マップ（gems）を介して非向き付け可能埋め込みへモデルを拡張し、フラッグが頂点を表す3色付き3正則グラフ上でウォークが定義されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\log(U^2)$ の有向グラフが向き付けられたグラフである条件は何か？
• RQ2 頂点-面ウォークのスペクトル構造は、埋め込みの組合せ的性質とどのように関係するか？
• RQ3 頂点-面ウォークと連続的量子ウォークの関係は何か。特に $U = \exp(tS)$ が成り立つ場合、$S$ が歪自己随伴行列であるときの関係は？
• RQ4 頂点-面ウォークは、ダイナミクスおよび探索効率の観点から、古典的ランダムウォークとどのように異なるか？
• RQ5 頂点-面ウォークモデルは非向き付け可能埋め込みへ一般化可能か。その場合にどのような構造的性質が現れるか？

主な発見

• 頂点-面ウォークの遷移行列 $U$ はユニタリであり、正規化された弧-面接続行列の像空間への反射と、正規化された弧-尾接続行列の像空間への反射の積として構成される。
• $U$ と頂点-面接続構造との間でスペクトル的対応関係が確立され、$U^2$ の主対数の公式の導出が可能になった。
• 底辺の有向グラフ $\log(U^2)$ が向き付けられたグラフであるための必要十分条件は、頂点-面接続構造が部分幾何的設計を形成することである。
• 頂点-面ウォークは非古典的挙動を示す：初期状態の周辺に局在し続けることができるのに対し、古典的ランダムウォークは通常広がっていく。
• トーラスグリッド $C_n \square C_n$ において、頂点-面ウォークは弧反転ウォークよりも高い探索成功確率を達成する。これは1ステップで隣接しない弧へ遷移できる能力に起因する。
• 非向き付け可能埋め込みの場合、頂点-面ウォークは、gem（グラフ符号化マップ）の距離2グラフの1つの成分の頂点上の量子ウォークと同値であり、元の埋め込みが向き付け可能である場合に限り、可約である。