[論文レビュー] Quantum Witten localization and abelianization for qde solutions

Eduardo González, Chris Woodward|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2008

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 80被引用数 20

ひとこと要約

本稿は、ゲージ化Gromov-WittenインバリアントにおけるWittenの局在化公式の量子版を確立し、再帰的群およびその最大トーラスによるGIT商の量子アーベル化公式を可能にする。ホロモルフィックシンプレクティック還元における量子Lefschetz原理を証明し、等置性局在化およびグラフポテンシャル技法を用いて、射影直線上の点のモジュライ空間および射影平面上のフレームド層のモジュライ空間の量子微分方程式の解に対して明示的な公式を導出する。

ABSTRACT

We prove a quantum version of the localization formula of Witten that relates invariants of a git quotient with the equivariant invariants of the action. Using the formula we prove a quantum version of an abelianization formula of S. Martin relating invariants of geometric invariant theory quotients by a group and its maximal torus, conjectured by Bertram, Ciocan-Fontanine, and Kim. By similar techniques we prove a quantum Lefschetz principle for holomorphic symplectic reductions. As an application, we give a formula for the fundamental solution to the quantum differential equation (qde) for the moduli space of points on the projective line and for the smoothed moduli space of framed sheaves on the projective plane (a Nakajima quiver variety).

研究の動機と目的

• 多様体の等置性Gromov-WittenインバリアントとそのGIT商のそれらとの関係を、Wittenの非アーベル局在化公式を量子設定に拡張することにより得ること。
• Bertram, Ciocan-Fontanine, Kimが提起した予想を確認する、グラフGromov-Wittenインバリアントのための量子アーベル化公式を証明すること。
• 局在化技法を用いて、ホロモルフィックシンプレクティック還元における量子Lefschetz原理を確立すること。
• 特定のモジュライ空間、特にP^1上の点のモジュライ空間およびP^2上のフレームド層のモジュライ空間の量子微分方程式の基本解を計算すること。
• ねじれ局在化グラフポテンシャルおよび固定点部分多様体上の等置性局在化を用いて、量子インバリアントの明示的公式を提供すること。

提案手法

• 量子Kirwan写像を構築し、断熱極限定理を適用して等置性インバリアントと量子インバリアントを関係づける。
• マスタースペース上の局在化グラフポテンシャルを用い、Kirwan-Ness層への寄与を計算する。
• 最大トーラス作用の固定点成分に等置性局在化を適用し、非アーベルインバリアントをアーベルインバリアントに還元する。
• 積分を多様体とユニタリリー代数の積上での、解析接続による正則化により、量子版Wittenトレースを導出する。
• ゲージ化Gromov-Witten理論の文脈で仮想局在化公式を用い、商スタックのインバリアントを計算する。
• 根系および等置性パラメータを含む無限積を含むねじれ局在化ポテンシャルを用いて、量子積の明示的生成関数を構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Wittenの局在化公式は、多様体の等置性Gromov-WittenインバリアントとそのGIT商のそれらとの関係を、量子設定に拡張可能か？
• RQ2 Bertram, Ciocan-Fontanine, Kimが提起したように、GIT商のグラフGromov-Wittenインバリアントに対して、量子アーベル化公式は成立するか？
• RQ3 局在化手法を用いて、ホロモルフィックシンプレクティック還元に対して、量子Lefschetz原理を確立可能か？
• RQ4 P^1上の点のモジュライ空間の量子微分方程式の基本解の明示的形は何か？
• RQ5 Nakajimaクオーバーモジュライ空間、例えばP^2上のフレームド層のモジュライ空間の量子インバリアントは、局在化およびアーベル化を用いてどのように計算可能か？

主な発見

• Wittenの局在化公式の量子版が証明され、GIT商上のトレースがKirwan-Ness層への寄与の和として表され、局在化された項の明示的公式が得られた。
• グラフGromov-Wittenインバリアントのための量子アーベル化公式が確立され、再帰的群によるGIT商の量子インバリアントが、最大トーラス作用を介してねじれ局在化ポテンシャルによって等価であることが示された。
• P^1上の点のモジュライ空間に対して、量子微分方程式の基本解は(1+q)^kを含む生成関数として与えられ、等置性パラメータに明示的な依存関係を示した。
• P^2上のフレームド層の滑らか化モジュライ空間（Nakajimaクオーバーモジュライ空間）に対して、量子微分方程式の解はねじれ局在化ポテンシャルと(1+qe^t)^{kδ_{r-1}(ξ_-+ξ_+)/ζ}の積として導出され、量子補正を反映した。
• X上のT作用におけるねじれ局在化グラフポテンシャルは、次数タプルの和として明示的に計算され、量子補正を符号化するΔ_d(θ, w)積を含む有理関数で表された。
• t=0における量子ポテンシャルの指数関数が(1+q)^{k(ξ_-+ξ_+ among other terms}に等しいことが示され、ヤング図形の恒等式による組合せ論的整合性が確認された。