[論文レビュー] Quasi-Coxeter categories and a relative Etingof-Kazhdan quantization functor

Andrea Appel, Valerio Toledano-Laredo|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 2012

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、完成化された量子包あつまり代数 $U_{\hbar}\mathfrak{g}[[\hbar]]$ と普遍包あつまり代数 $U\mathfrak{g}[[\hbar]]$ 間の同型を、レヴィ部分代数の包含関係を保存する相対的エティンフォルト＝カジダン量子化関手として確立する。主な結果は、修正されたエティンフォルト＝カジダン関手とマニン三重項の鎖を用いて、モノドロミー的記述をアフィン・カック＝ムーディ代数へ拡張した、準コクセター圏の自然同値性である。

ABSTRACT

Let g be a symmetrizable Kac-Moody algebra and U_h(g) its quantized enveloping algebra. The quantum Weyl group operators of U_h(g) and the universal R-matrices of its Levi subalgebras endow U_h(g) with a natural quasi-Coxeter quasitriangular quasibialgebra structure which underlies the action of the braid group of g and Artin's braid groups on the tensor product of integrable, category O modules. We show that this structure can be transferred to the universal enveloping algebra Ug[[h]]. The proof relies on a modification of the Etingof-Kazhdan quantization functor, and yields an isomorphism between (appropriate completions of) U_h(g) and Ug[[h]] preserving a given chain of Levi subalgebras. We carry it out in the more general context of chains of Manin triples, and obtain in particular a relative version of the Etingof-Kazhdan functor with input a split pair of Lie bialgebras. Along the way, we develop the notion of quasi-Coxeter categories, which are to generalized braid groups what braided tensor categories are to Artin's braid groups. This leads to their succint description as a 2-functor from a 2-category whose morphisms are De Concini-Procesi associahedra. These results will be used in the sequel to this paper to give a monodromic description of the quantum Weyl group operators of an affine Kac-Moody algebra, extending the one obtained by the second author for a semisimple Lie algebra.

研究の動機と目的

• 半単純代数からアフィン・カック＝ムーディ代数へ、量子ウェイル群作用素のモノドロミー的記述を拡張すること。
• 標準的エティンフォルト＝カジダン同型がアフィンの場合にレヴィ部分代数の包含関係を保存しないという問題を解消すること。
• マニン三重項の鎖とレヴィ部分代数を尊重する相対的エティンフォルト＝カジダン関手を構成すること。
• 一般化されたブレード群作用をカテゴリー的枠組みとして用いるための、準コクセター圏の定義と特徴付けを行うこと。
• $U_{\hbar}\mathfrak{g}$ と $U\mathfrak{g}[[\hbar]]$ 間の自然同型を確立し、量子ウェイル群作用素と $R$-行列の構造を保存すること。

提案手法

• エティンフォルト＝カジダン量子化関手を修正し、相対モノドロミー・データから得られるねじれ要素による共軛を用いて、レヴィ部分代数の包含関係を保存するようにする。
• アソシアヘドロン $\mathrm{DP}_n$ の2カテゴリを用いて、準コクセター圏をカテゴリー的に記述する2関手を構成する。
• Lieの結合子を備えた等連続モジュールのドリンフェルト圏を用いて、位相的状況下でのエティンフォルト＝カジダン関手を定義する。
• スピンペアのリー双代数とマニン三重項の鎖を入力とする、エティンフォルト＝カジダン関手の相対的バージョンを導入する。
• 完成化された $U\mathfrak{g}[[\hbar]]$ にエティンフォルト＝カジダン構成を適用し、量子群作用素に一致させるために同型を共軛変換で調整する。
• 修正された同型が $R$-行列構造およびカシミール結合子を、重みゼロ補正まで保存することを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アフィン・カック＝ムーディ代数の文脈において、エティンフォルト＝カジダン量子化同型を、レヴィ部分代数の包含関係を保存するように修正できるか。
• RQ2 一般化されたブレード群作用を捉えるために、アソシアヘドロン上の2関手として準コクセター圏をどのように形式化できるか。
• RQ3 マニン三重項の鎖に対して、相対的エティンフォルト＝カジダン関手は何か。また、これは量子ウェイル群作用素とどのように関係するか。
• RQ4 完成化と同型の下で、$U_{\hbar}\mathfrak{g}$ 内の量子ウェイル群作用素は $U\mathfrak{g}[[\hbar]]$ にどのように写されるか。
• RQ5 重みゼロの相対的ねじれとカシミール結合子は、レヴィ部分代数構造の間の整合性を保つために果たす役割は何か。

主な発見

• 量子ウェイル群作用素 $S_{i}^{\hbar}$ をそれに対応する古典的対応物 $S_{i,C}$ に写す、修正されたエティンフォルト＝カジダン同型 $\Psi_{i} = \mathrm{Ad}(x) \circ \Psi_{i}^{\mathrm{EK}}$ が構成され、$\hbar$ に関して構造を保存する。
• 同型 $\Psi^{\mathrm{EK}}$ はレヴィ部分代数の包含関係を保存しないが、相対モノドロミー・データから得られるねじれ要素 $x$ による共軛により、この欠陥が是正される。
• 量子圏 $\mathcal{O}_{\hbar}$ と古典圏 $\mathcal{O}$ 間に、$R$-行列 $R_B = \exp(\frac{\hbar}{2}\Omega_D)$ および結合子 $\Phi_B = 1 \mod \hbar^2$ を備えた、自然な同値性が確立される。
• 相対的ねじれ $J_{\mathcal{F}}^{BB'}$ が重みゼロの要素であることが示され、量子群構造とブレード群作用に整合性が保証される。
• 修正された同型は $R$-行列および量子ウェイル群作用素の構造を保存し、$S_i^2 = S_{i,C}^2$ および $S_i = \mathrm{Ad}(x)(S_{i,C})$ が整数的モジュール上で成り立つ。
• この構成により、マニン三重項の鎖に対する相対的エティンフォルト＝カジダン関手が得られ、標準的関手をレヴィ部分代数との整合性を含む形に一般化する。