[論文レビュー] Quasi-particle bases of principal subspaces for the affine Lie algebras of types $B_{l}^{(1)}$ and $C_{l}^{(1)}$

Marijana Butorac|arXiv (Cornell University)|May 3, 2015

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$B_l^{(1)}$ および $C_l^{(1)}$ 型のアフィンリー代数におけるレベル $k \geq 1$ の標準的および一般化されたヴェルマ加群の主部分空間に対して、準粒子基底を構成する。これは、$B_2^{(1)}$ に対する以前の結果を一般化したものである。頂点演算子の関係式と射影技法を用いて、$l \geq 3$ に対して新しいロジャース＝ラマヌジャン型の恒等式を導く明示的な特性式を導出する。主な貢献は、色と電荷が異なる準粒子におけるエネルギー条件を用いた、これらの部分空間の次数付き次元の組み合わせ的記述である。

ABSTRACT

Generalizing our earlier work, we construct quasi-particle bases of principal subspaces of standard module $L_{X_l^{(1)}}(kΛ_0)$ and generalized Verma module $N_{X_l^{(1)}}(kΛ_0)$ at level $k\geq 1$ in the case of affine Lie algebras of types $B_l^{(1)}$ and $C_l^{(1)}$. As a consequence, from quasi-particle bases, we obtain the graded dimensions of these subspaces.

研究の動機と目的

• $B_2^{(1)}$ からの準粒子基底の構成を、$l \geq 3$ における $B_l^{(1)}$ および $C_l^{(1)}$ 型の高ランクアフィンリー代数に拡張すること。
• 一般化されたヴェルマ加群 $N_{X_l^{(1)}}(k\Lambda_0)$ および可約加群 $L_{X_l^{(1)}}(k\Lambda_0)$ の主部分空間の特性式を確立すること。
• 準粒子基底から得られる次数付き次元を分析することで、新しいロジャース＝ラマヌジャン型の恒等式を導出すること。
• 先行研究で用いられた、標準的加群の $\mathfrak{h}$-重層への射影の手法を一般化し、生成集合の線形独立性を証明する。

提案手法

• 頂点演算子からの留数抽出によって定義される、色 $i$、電荷 $r \geq 1$、エネルギー $-m$ の準粒子 $x_{r\alpha_i}(m)$ を用いて、主部分空間の生成集合を構成する。
• $B_l^{(1)}$ の場合、単項式は $b(\alpha_l)b(\alpha_{l-1})\cdots b(\alpha_1)$ の順序で並べられ、$i \leq l-2$ の場合、$A_{l-1}^{(1)}$ のエネルギー差条件に一致し、$i = l-1,l$ の場合、$B_2^{(1)}$ の条件に一致する。
• $C_l^{(1)}$ の場合、単項式は $b(\alpha_1)\cdots b(\alpha_{l-1})b(\alpha_l)$ の順序で並べられ、$l-1,l$ の色についてエネルギー条件は $B_2^{(1)}$ に一致し、$i \leq l-2$ の場合、レベル $2k$ における $A_{l-1}^{(1)}$ の条件に一致する。
• 標準的加群の $\mathfrak{h}$-重層のテンソル積への射影写像を用いて、線形独立性の問題を $B_2^{(1)}$ および $A_{l-1}^{(1)}$ の既知の結果に還元する。
• 準粒子単項式の順序に関する帰納法を用い、相互作用演算子の係数、単純な電流演算子、およびレベル1加群におけるワイル群の平行移動を活用する。
• $U(\mathcal{L}(\mathfrak{n}_+))_{<0}$ の基底にポincare-Birkhoff-Witt定理を適用することで、$q$-ポッホハマー記号を用いた無限積表現への特性式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $l \geq 3$ および $k \geq 1$ における $B_l^{(1)}$ および $C_l^{(1)}$ アフィンリー代数の主部分空間に対して、準粒子基底を体系的に構成する方法は何か？
• RQ2 $B_l^{(1)}$ および $C_l^{(1)}$ の場合、これらの基底における準粒子単項式の線形独立性を制御するエネルギー差条件は何か？
• RQ3 一般化されたヴェルマ加群 $N_{X_l^{(1)}}(k\Lambda_0)$ の主部分空間の次数付き次元は、無限積恒等式として表現可能か？
• RQ4 これらの特性式は、$A_1^{(1)}$ および $B_2^{(1)}$ で既知のものとは異なる新しいロジャース＝ラマヌジャン型の恒等式を導くか？
• RQ5 低ランクケースの既知の結果を用いた射影法により、生成集合の線形独立性をどのように証明できるか？

主な発見

• 本稿は、一般化されたヴェルマ加群 $N_{B_l^{(1)}}(k\Lambda_0)$ の主部分空間に対する準粒子基底を確立した。単項式は $b(\alpha_l)b(\alpha_{l-1})\cdots b(\alpha_1)$ の順序で並べられ、色 $1$ から $l-2$ のエネルギー条件はレベル $k$ における $A_{l-1}^{(1)}$ の条件に一致し、色 $l-1$ および $l$ の条件はレベル $k$ における $B_2^{(1)}$ の条件に一致する。
• $C_l^{(1)}$ の場合、基底は $b(\alpha_1)\cdots b(\alpha_{l-1})b(\alpha_l)$ の順序で並べられ、色 $l-1$ および $l$ のエネルギー条件はレベル $k$ における $B_2^{(1)}$ の条件に一致し、色 $1$ から $l-2$ の条件はレベル $2k$ における $A_{l-1}^{(1)}$ の条件に一致する。
• $N_{B_l^{(1)}}(k\Lambda_0)$ の主部分空間の特性式は、無限積として与えられる： $\prod_{m>0} \frac{1}{(1-q^m y_1)(1-q^m y_1 y_2)\cdots(1-q^m y_1\cdots y_{l-1})(1-q^m y_1 y_2^2 \cdots y_l^2)} \cdots \frac{1}{(1-q^m y_l)}$、それに伴い、指数に特定の二次および二項式項を持つ整数分割の和としての表現も得られる。
• 同様に、$N_{C_l^{(1)}}(k\Lambda_0)$ の特性式は、$m>0$ についての項 $\frac{1}{(1-q^m y_1)}\cdots\frac{1}{(1-q^m y_1 y_2^2 \cdots y_l^2)}\cdots\frac{1}{(1-q^m y_l)}$ の積として表され、$B_l^{(1)}$ の場合と構造は同一だが、順序と重み依存性が異なる。
• 特性式は、特定の指数 $q^{\sum (r_i^{(j)})^2 - \sum r_{i-1}^{(j)} r_i^{(j)}}$ を持つ整数分割 $r_i^{(j)}$ に関する和と $q$-ポッホハマー記号の商に等価であることが証明され、新しいロジャース＝ラマヌジャン型の恒等式が得られる。
• 生成集合の線形独立性は、$B_2^{(1)}$ および $A_{l-1}^{(1)}$ の既知の線形独立性結果に還元する射影技法により確立され、相互作用演算子の係数およびワイル群の平行移動が用いられる。