[論文レビュー] Quasiconformal mappings, from Ptolemy's geography to the work of Teichmüller

Athanase Papadopoulos|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2017

History and Theory of Mathematics参考文献 57被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、古代の地図作成——プトレマイオスの地理的図法にさかのぼる——から20世紀のはじめのティヒミュラーの基礎的研究に至るまでの準等角写像の歴史的発展をたどる。ティッソの歪みの指示子の導入、グローツシュ、ラヴレーティエフ、アーフォルズ、ティヒミュラーによる極値的準等角写像の発展、およびティヒミュラーの極値的準等角写像に関する存在および一意性の定理が、ティヒミュラー理論および関数論の中心的役割を果たし、特に二次微分形式を用いてビーバーバッハ予想を解くことにつながったことを示している。

ABSTRACT

The origin of quasiconformal mappings, like that of conformal mappings, can be traced back to old cartography where the basic problem was the search for mappings from the sphere onto the plane with minimal deviation from conformality, subject to certain conditions which were made precise. In this paper, we survey the development of cartography, highlighting the main ideas that are related to quasiconformality. Some of these ideas were completely ignored in the previous historical surveys on quasiconformal mappings. We then survey early quasiconformal theory in the works of Grötzsch, Lavrentieff, Ahlfors and Teichmüller, which are the 20th-century founders of the theory. The period we consider starts with Claudius Ptolemy (c. 100--170 A.D.) and ends with Oswald Teichmüller (1913--1943). We mention the works of several mathematicians-geographers done in this period, including Euler, Lagrange, Lambert, Gauss, Chebyshev, Darboux and others. We highlight in particular the work of Nicolas-Auguste Tissot (1824--1897), a French mathematician and geographer who (according to our knowledge) was the first to introduce the notion of a mapping which transforms infinitesimal circles into infinitesimal ellipses, studying parameters such as the ratio of the major to the minor axes of such an infinitesimal ellipse, its area divided by the area of the infinitesimal circle of which it is the image, and the inclination of its axis with respect to a fixed axis in the plane. We also give some information about the lives and works of Grötzsch, Lavrentieff, Ahlfors and Teichmüller. The latter brought the theory of quasiconformal mappings to a high level of development. He used it in an essential way in his investigations of Riemann surfaces and their moduli and in function theory (in particular, in his work on the Bieberbach conjecture and the type problem). We survey in detail several of his results. We also discuss some aspects of his life and writings, explaining why his papers were not read and why some of his ideas are still unknown even to Teichmüller theorists. The final version of this paper will appear in the book "Uniformization, Riemann-Hilbert Correspondence, Calabi-Yau Manifolds, and Picard-Fuchs Equations" (ed. L. Ji and S.-T. Yau), International Press and Higher Education Press (2017).

研究の動機と目的

• 古代および初期近代の地図作成における準等角写像の歴史的ルーツを、球面図法における歪みの最小化を試みた例に焦点を当ててたどること。
• 特に、ティッソが無限小の楕円を体系的に研究したが、正式な準等角理論の出現よりも前に、その幾何的パラメータを定式化したという、これまで軽視されてきた貢献を浮き彫りにすること。
• グローツシュ、ラヴレーティエフ、アーフォルズ、ティヒミュラーによる20世紀のはじめの基礎的研究を概説し、極値的準等角写像の出現に焦点を当てる。
• ティヒミュラーが極値的写像および二次微分形式を用いて、複素解析における主要な問題、特にビーバーバッハ予想を解くための深い枠組みを提供した仕組みを説明すること。
• ティヒミュラーの未発表の知見が、現在の数学界においては十分に評価されていないこと、そして再評価が求められていることを主張すること。

提案手法

• プトレマイオス（西暦約100年〜170年）からティッソ（1824年〜1897年）に至る地図作成の歴史的分析。特に、図法における歪みの数学的取り扱いに焦点を当てる。
• 初期の準等角理論の解説。グローツシュの長方形間の極値的写像およびラヴレーティエフによる歪み最小化への貢献を含む。
• アーフォルズが理論をどのように前進させ、ティヒミュラーの重要性をどのように認識したかの詳細な検討。
• ティヒミュラーの未発表の論文、特に1943年の極値問題および単値関数論における二次微分形式の使用に関する研究の詳細な分析。
• ティヒミュラーの原理の適用：極値的写像は、関数係数の正規化条件に対応する指定された点に極を持つ二次微分形式によって決定される。
• ジェンキンズの1962年のICM講演を用いて、ティヒミュラーの直感的原理を、二次微分形式の係数と写像との間に成立する明確な不等式に形式化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古代および初期近代の地図作成実務が、準等角写像の概念的土台をどのように築いたのであろうか？
• RQ2 ティッソの無限小楕円（ティッソの指示子）に関する研究は、現代の準等角歪み理論をどのように予見していたのであろうか？
• RQ3 グローツシュの長方形間の極値的写像が、リーマン面への準等角写像に関するティヒミュラーの存在および一意性の定理にどのように一般化されたのであろうか？
• RQ4 二次微分形式は、ティヒミュラーによるビーバーバッハ予想の解決においてどのような役割を果たしたのか。また、ジェンキンズはその後の研究でどのようにこれを形式化したのであろうか？
• RQ5 なぜティヒミュラーのアイデア、特に彼の未発表の論文においては、数学界においてほとんど知られていなかったり、評価が低く抑えられていたのであろうか？

主な発見

• ティッソは、射影の下で無限小の円が歪むことについて、初めて形式的に定義し、その研究を始めた。彼は、像の楕円の長軸と短軸の比、元の円に対する楕円の面積、楕円の軸の向きといったパラメータを導入した。
• ティヒミュラーの1943年の論文は、単値関数論における極値問題の解が、正規化条件に対応する関数係数の条件に従って極を持つ二次微分形式によって決定されるという一般原理を提示した。
• ティヒミュラーの存在および一意性の定理は、グローツシュの長方形写像に関する結果を任意のリーマン面に一般化し、準等角写像とティヒミュラー空間との間に深い関係を確立した。
• ジェンキンズの1962年のICM講演では、ティヒミュラーの原理が明確な不等式に形式化された：等号が成り立つのは、写像が二次微分形式によって誘導される計量に関して等長写像である場合に限る。
• ティヒミュラーのビーバーバッハ予想に関する研究は、完全に出版されていなかったが、極値的準等角写像および二次微分形式を用いた基礎的技術を提供しており、後にジェンキンズらによって発展された。
• ティヒミュラーの深い洞察にもかかわらず、彼の論文はその複雑さと当時の政治的・歴史的状況のため、広く読まれることはなく、彼の貢献は長らく認識されなかった。