[論文レビュー] Quasinormal frequencies of D-dimensional Schwarzschild black holes: evaluation via continued fraction method

Andrzej Rostworowski|ArXiv.org|Jun 26, 2006

Scientific Research and Discoveries参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、D ≥ 10 の次元における D次元シュワルツシルトブラックホールのクーリングモード周波数を計算するため、レーバーの連分数法を拡張している。D ≥ 10 の場合、複素 r 平面上の単位円上に複数の正則特異点が存在し、標準的な級数解の収束半径を制限する。著者らは、これらの特異点を回避するための中点継続技術を導入し、修正された再帰関係と連分数収束基準を用いて、D = 10 および D = 11 次元における重力的ベクトルモードおよびテンソルモード周波数を高精度で計算可能にした。

ABSTRACT

We adopt Leaver's method to determine quasi normal frequencies of the Schwarzschild black hole in higher (D >= 10) dimensions. In D-dimensional Schwarzschild metric, when D increases, more and more singularities, spaced uniformly on the unit circle |r|=1, approach the horizon at r = r_h = 1. Thus, a solution satisfying the outgoing wave boundary condition at the horizon must be continued to some mid point and only then the continued fraction condition can be applied. This prescription is general and applies to all cases for which, due to regular singularities on the way from the point of interest to the irregular singularity, Leaver's method in its original setting breaks down. We illustrate the method calculating gravitational vector and tensor quasinormal frequencies of the Schwarzschild black hole in D=11 and D=10 dimensions. We also give the details for the D=9 case, considered in gr-qc/0511064.

研究の動機と目的

• D ≥ 10 の高次元奇数次元における D次元シュワルツシルトブラックホールの、極めて高精度なクーリングモード周波数を計算すること。標準的なレーバー法は、複数の正則特異点のため機能しない。
• D ≥ 10 の場合、|r| = 1 上の特異点が r = 1 のホライズンに近づくため、レーバーの元来の方法が破綻する理由を解明すること。
• 中点継続と連分数収束基準を用いた修正されたレーバー法を開発・適用し、D = 10 および D = 11 次元における重力的ベクトルモードおよびテンソルモード周波数を決定すること。
• 非線形数値相対論コードの検証に不可欠な、D = 10 および D = 11 における基本モードおよびオーバートーンクーリングモード周波数の正確なベンチマーク値を提供すること。
• 複数の正則特異点を有する波動方程式にレーバー法の適用範囲を拡張するため、一般化可能な継続手順を導入すること。

提案手法

• D ≥ 10 次元における収束を制限する単位円 |r| = 1 上の正則特異点を回避するため、中点継続ステップを導入した、元来のレーバーの連分数法の適応。
• ホライズン r = 1 を ρ = 0、無限大を ρ = 1 に写像する複素座標変換 ρ(r) = (r−1)/r を用いるが、D ≥ 10 の場合、|ρ| < 1 内に r^{D−3} = 1 の根である追加の特異点が存在することを認識している。
• 解を収束半径内にある点 0 < ρ < 1 を通じて解析接続した後、標準的なレーバー再帰関係 u(ρ) = ∑ aₙρⁿ を適用する。
• 波数 k、角運動量 L、スピン s（テンソル摂動では s=0、ベクトル摂動では s=2）に依存する係数 γ(j)ₙ を持つ (2(D−3)+1) 項再帰関係を導出する。
• ρ = 1 における連分数条件を、無限連分数を切り詰めて、切り詰め深さの変化に対しても解が安定するように k を求める。
• WKB近似との比較により妥当性を検証し、特に低 L および高オーバートーンの場合に、レーバー法がより高い精度を示すことを確認した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複数の正則特異点が収束半径を制限する場合、レーバーの連分数法をどのように一般化して D次元シュワルツシルトブラックホールのクーリングモード周波数を計算できるか？
• RQ2 D ≥ 10 の場合、D−3 個の単位根が単位円上に存在し、ホライズンに近づくため、標準的なレーバー法にどのような修正が必要か？
• RQ3 D = 10 および D = 11 次元における重力的ベクトルおよびテンソル摂動の正確なクーリングモード周波数は何か？
• RQ4 修正されたレーバー法の結果は、特に低角運動量および高オーバートーンの場合に、既存の WKB 近似とどのように比較されるか？
• RQ5 中点継続技術は、複数の正則特異点を有する他の波動方程式に対しても一般化可能か？

主な発見

• 修正されたレーバー法は、元来の方法が収束特異点のため機能しない D = 10 および D = 11 次元シュワルツシルトブラックホールのクーリングモード周波数を成功裏に計算した。
• D = 10 の場合、テンソル摂動（L=2）の基本モード周波数は約 4.7032 − 4.4370i であり、オーバートーンでは実部および虚部が増加する傾向を示す。
• D = 11 の場合、テンソルモード（L=2）の基本周波数は約 5.2808 − 4.6848i であり、n=1 から 15 までの高次のオーバートーンの値は体系的に計算され、表形式で提示された。
• WKB近似に比べ、特に低 L および高オーバートーンの場合に顕著に高い精度を示し、WKBの誤差が10%を超える場合もあった。
• D = 9 の場合も完全に詳細に記述されており、12項再帰関係の再帰係数が提供され、L = 2 から 15 までのクーリングモード周波数が表形式で提示された。
• D = 11 の場合、ρ の級数の収束半径は、ρ = 1 − 1/√2 ± i/√2 に位置する特異点のため約 0.76 に制限され、中点継続戦略の導入が不可欠となった。