[論文レビュー] Quaternionic Kähler and hyperKähler manifolds with torsion and twistor spaces

Stefan Ivanov, Ivan Minchev|ArXiv.org|Dec 15, 2001

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 20被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、twistor空間を通じて、ねじれを伴うキーラー多様体（QKT）とねじれを伴うハイパーケーラー多様体（HKT）の間の幾何的対応関係を確立する。QKT多様体のスワーンバンドが特別な対称性をもつHKT構造を備えるための必要十分条件は、そのtwistor空間が完全にねじれを伴うNijenhuisテンソルをもつほぼヘルミート構造を持つことであると証明しており、(4,0)スーパーシンメトリーを持つσ模型に由来する量子場の理論的幾何と、Wess-Zumino項を有する幾何を結びつける。

ABSTRACT

The target space of a (4,0) supersymmetric two-dimensional sigma model with Wess-Zumino term has a connection with totally skew-symmetric torsion and holonomy contained in Sp(n)Sp(1) (resp. Sp(n)), QKT (resp. HKT)-spaces. We study the geometry of QKT, HKT manifold and their twistor spaces. We show that the Swann bundle of a QKT manifold admits a HKT structure with special symmetry if and only if the twistor space of the QKT manifold admits an almost hermitian structure with totally skew-symmetric Nijenhuis tensor, thus connecting two structures arising from quantum field theories and supersymmetric sigma models with Wess-Zumino term.

研究の動機と目的

• QKTとHKT多様体のtwistor空間を通じた幾何的対応関係を確立すること。
• (4,0)スーパーシンメトリーを持つσ模型におけるねじれの役割とその標的空間幾何の関係を明確にすること。
• QKT多様体のスワーンバンドが特別な対称性をもつHKT構造を引き継ぐための条件を調査すること。
• QKTおよびHKT多様体のtwistor空間を分析し、それらのほぼヘルミート構造を特徴づけること。
• ホロノミーとねじれを通じて、量子場の理論的幾何と微分幾何的構造を結びつけること。

提案手法

• 本稿は、(4,0)スーパーシンメトリーを持つ2次元σ模型にWess-Zumino項を含むQKTおよびHKT多様体を、完全にねじれを伴う歪みのある接続を持つ計量接続として研究する。
• twistor構成を用いて、QKT多様体の幾何とそのtwistor空間の幾何を関連づけ、完全にねじれを伴うNijenhuisテンソルをもつほぼヘルミート構造に注目する。
• QKT多様体にスワーンバンド構成を適用し、それが特別な対称性をもつHKT構造を引き継ぐかを分析する。
• Bismut接続とChern接続を用いてtwistor空間上の曲率およびRicciテンソルの式を導出し、それらの(2,0)+(0,2)成分を比較する。
• HKT多様体におけるLee形式とねじれ1形式の等式θ = tを用いて、Ricciテンソルの対称性を分析する。
• Chern接続の(1,1)型曲率とBismut接続の曲率が消えることを利用して、dθおよびd(Jαθ)の性質を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 QKT多様体のスワーンバンドが特別な対称性をもつHKT構造をもつための条件は何か？
• RQ2 QKT多様体のtwistor空間が完全にねじれを伴うNijenhuisテンソルをもつほぼヘルミート構造をもつための条件は何か？
• RQ3 HKTとQKT多様体の幾何的性質は、それらのtwistor空間を通じてどのように関係しているか？
• RQ4 Lee形式とねじれ1形式は、HKT多様体におけるRicciテンソルの対称性を特徴づける上で果たす役割は何か？
• RQ5 4n次元のHKT多様体（n > 1）のtwistor空間における曲率およびRicciテンソルの式は何か？

主な発見

• QKT多様体のスワーンバンドが特別な対称性をもつHKT構造をもつための必要十分条件は、そのtwistor空間が完全にねじれを伴うNijenhuisテンソルをもつほぼヘルミート構造をもつことである。
• HKT多様体において、Lee形式θはねじれ1形式tに等しく、dθは各Jαに関して(1,1)型である。
• HKT多様体のtwistor空間における*-Ricciテンソルは対称的であり、i=1,2についてIi-不変である。
• HKT多様体が*-Einsteinであり、スカラー曲率が正であるとき、そのtwistor空間はc² = 4/Scal_Qを満たす*-Einsteinほぼヘルミート構造をもつ。
• 次元4n（n > 1）のコンパクトなHKT多様体において、∫(Scal^g - Scal^g_Q) dV ≥ 0が成り立ち、等号成立は構造がバランス型である場合に限る。
• n ≥ 2のバランス型HKT多様体において、RicciテンソルはJα-不変かつ対称的であり、これはねじれ3形式がコクロージャー（δT = 0）であることを意味する。