[論文レビュー] Quite free complicated abelian group, PCF and Black Boxes

Saharon Shelah|arXiv (Cornell University)|Apr 10, 2014

Advanced Topology and Set Theory参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$\mathfrak{b}_{\theta}$-フリーなアーベル群を、$n$次元ブラックボックスとpcf理論を用いて、任意の大きな基数に対して自明な双対（つまり、$\mathbb{Z}$ への非自明な準同型が存在しない）を持つように構成する。$\theta = \theta_0 + \theta_1$ で $\theta_0 = \theta_1 = \theta$ のとき、自明な双対予想の失敗の整合性を示し、ZFCで $\text{TDC}_{\mathfrak{b}_{\theta}}$ が成立するが、大基数の下でフォース拡張では失敗することを示している。

ABSTRACT

We like to build Abelian groups (or R-modules) which on the one hand are quite free, say $\aleph_{ω+ 1}$-free, and on the other hand, are complicated in suitable sense. We choose as our test problem having no non-trivial homomorphism to $Z$ (known classically for $\aleph_1$-free, recently for $\aleph_n$-free). We succeed to prove the existence of even $\aleph_{ω_1 \cdot n}-$free ones. This requires building n-dimensional black boxes, which are quite free. Thus combinatorics is of self interest and we believe will be useful also for other purposes. On the other hand, modulo suitable large cardinals, we prove that it is consistent that every $\aleph_{ω_1 \cdot ω}$-free Abelian group has non-trivial homomorphisms to Z.

研究の動機と目的

• 任意の大きな $\theta$ に対して、$\mathfrak{b}_{\theta}$-フリーなアーベル群を、自明な双対（すなわち、$\text{Hom}(G, \mathbb{Z}) = 0$）を持つように構成すること。
• $n$次元ブラックボックスの使用を拡張し、特に $\mathfrak{b}_{\theta}$-フリーの高レベルを達成すること。
• $\theta = \theta_0 + \theta_1$ で $\theta_0 = \theta_1 = \theta$ のとき、大基数仮定の下で自明な双対予想が失敗することの整合性を証明すること。
• $\theta < \theta_0 + \theta_1$ のとき $\text{TDC}_{\mathfrak{b}_{\theta}}$ はZFCで証明可能であるが、$\theta = \theta_0 + \theta_1$ のときはそうではないことを確立すること。
• ブラックボックスとpcf理論を用いた枠組みを提供し、環上の加群などの他の代数的構造へ一般化可能であることを示すこと。

提案手法

• 構成は、再帰的近似と補正技術を用いて、$n$次元ブラックボックスによって $\mathfrak{b}_{\theta}$-フリーなアーベル群と自明な双対を生成する。
• 基数算術を制御し、必要なブラックボックス構造の存在を保証するためにpcf理論を用いる。
• $c.c.c.$のフォースを用いて、$\text{MA} + 2^{\mathfrak{b}_0}$ が大きいモデルを構成し、整合性結果を得る。
• 最小反例の議論を用いる：$\mathfrak{b}_{\theta}$-フリーな群 $G$ で $\text{Hom}(G, \mathbb{Z}) = 0$ であると仮定し、非自明な準同型を構成することで矛盾を導く。
• $\text{Pr}_{\theta, \theta, \theta}$-原理と静止集合の解析を用いて、連続的型制約がある場合の矛盾を導出する。
• 自由度の段階 $(\theta, \theta)$ と証拠 $S_{\text{ss}}$ の階層を用いて、部分群を制御し、非自明な準同型を避ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ZFCにおいて、任意に大きな $\theta$ に対して $\mathfrak{b}_{\theta}$-フリーなアーベル群と自明な双対を持つものが構成可能か？
• RQ2 $\text{TDC}_{\mathfrak{b}_{\theta}}$ がZFCで成立するような $\theta$ の上限は何か？
• RQ3 すべての $\mathfrak{b}_{\theta}$-フリーなアーベル群が $\mathbb{Z}$ への非自明な準同型を持つことは整合的か？
• RQ4 ブラックボックス構成を $n$次元ブラックボックスを用いて、$\mathfrak{b}_{\theta}$-フリーな群と自明な双対を持つように拡張可能か？
• RQ5 大基数は、$\mathfrak{b}_{\theta}$ における自明な双対予想の失敗の整合性にどのような役割を果たすか？

主な発見

• 本稿は、$\theta < \theta_0 + \theta_1$ で $\theta_0 = \theta_1 = \theta$ のとき、$\mathfrak{b}_{\theta}$-フリーなアーベル群と自明な双対の存在を証明し、ZFCで $\text{TDC}_{\mathfrak{b}_{\theta}}$ を確立する。
• pcf理論的手法を用いて、$\theta = \theta_0 + \theta_1$ のとき $\mathfrak{b}_{\theta}$-フリーな $n$次元ブラックボックスを構成する。
• 大基数仮定の下で、すべての $\mathfrak{b}_{\theta}$-フリーなアーベル群が $\mathbb{Z}$ への非自明な準同型を持つことは整合的であることが示され、すなわち $\text{NTDC}_{\mathfrak{b}_{\theta}}$ が成立する。
• 構成により、$\text{TDC}_{\mathfrak{b}_{\theta}}$ がZFCで証明できない最初の基数が $\mathfrak{b}_{\theta}$ であることが示される。
• フォース拡張では、すべての $\mathfrak{b}_{\theta}$-フリーなアーベル群がホワイトヘッド群であることが示される。
• この方法により、ブラックボックス構成における自由度レベルと基数の間の関係が極めて非自明であることが明らかとなり、連続的型と静止集合の精密な制御が不可欠であることが判明する。