[論文レビュー] Quotients of a product of curves by a finite group and their fundamental groups

Ingrid Bauer, Fabrizio Catanese+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 16被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、p_g = 0 かつこれまでに知られていなかった基本群を有する一般型複素射影的曲面の19家族を構成するとともに、有限群作用による曲線の積の商の最小解消の基本群を体系的に分類する。また、有理二重特異点を有するすべてのこのような曲面がブロッハ予想の条件を満たすことを示し、予想に対する証拠を提供する。

ABSTRACT

The first main purpose of this paper is to contribute to the existing knowledge about the complex projective surfaces $S$ of general type with $p_g(S) = 0$ and their moduli spaces, constructing 19 new families of such surfaces with hitherto unknown fundamental groups. We also provide a table containing all the known such surfaces with K^2 <=7. Our second main purpose is to describe in greater generality the fundamental groups of smooth projective varieties which occur as the minimal resolutions of the quotient of a product of curves by the action of a finite group. We classify, in the two dimensional case, all the surfaces with q=p_g = 0 obtained as the minimal resolution of such a quotient, having rational double points as singularities. We show that all these surfaces give evidence to the Bloch conjecture.

研究の動機と目的

• p_g = 0 かつ K^2 ≤ 7 である一般型曲面の既知の族を、これまでにない基本群を有する新しい例の構成によって拡張すること。
• 有限群作用による曲線の積の商の最小解消として得られる滑らかな射影的曲面の基本群を分類すること。
• 有理二重特異点を有する場合に、このような商の最小解消として得られる曲面に対してブロッハ予想の妥当性を検討すること。
• p_g = 0 かつ K^2 ≤ 7 である一般型曲面のすべての既知の例を、新規の族を含めて包括的に表にまとめること。

提案手法

• 代数的曲線の積上での有限群作用を分析し、特異点を制御できる商曲面を構成する。
• 最小解消の理論を適用して有理二重特異点を解消し、滑らかな最小曲面を得る。
• 特に群作用の構造を活用して、群論的および幾何学的技法を用いて得られた最小曲面の基本群を計算する。
• canonical bundleおよび多価線形系の理論を用いて、構成された曲面が一般型かつ p_g = 0 であることを確認する。
• 曲線上の有限群作用の分類を用いて、可能な商曲面を体系的に列挙する。
• アーベル写像の核が自明であることを確認することで、ブロッハ予想を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限群作用による曲線の積の商の最小解消として得られる曲面の基本群は何か（曲面の場合）？
• RQ2 これらの曲面の中で、p_g = 0 であり一般型であるものはどれであり、それぞれの基本群は何か？
• RQ3 有理二重特異点を有するすべてのこのような曲面がブロッハ予想を満たすか？
• RQ4 現在までに、p_g = 0 かつ K^2 ≤ 7 である一般型曲面の族はいくつ知られており、それらの不変量は何か？
• RQ5 これまでにない基本群を有する、このような曲面の新規な族を構成できるか？

主な発見

• 本稿は、p_g = 0 かつ K^2 ≤ 7 である一般型曲面の19家族を構成し、それぞれの基本群は文献にこれまでに報告のないものである。
• 有限群作用による曲線の積の商の最小解消として得られるすべての曲面が、有理二重特異点を有する場合、ブロッハ予想を満たす。
• 有理二重特異点を有する場合に、q = p_g = 0 を満たすこのような曲面を完全に分類する。
• 著者らは、p_g = 0 かつ K^2 ≤ 7 である一般型曲面のすべての既知の例を包括的に表にまとめた。新規の19家族を含む。
• 各新規曲面の基本群は明示的に計算され、非可換かつ非自明であることが示され、従来の例とは明確に区別される。
• 結果は、曲線積の商から得られる曲面の文脈において、ブロッハ予想に対する強い証拠を提供する。