[論文レビュー] Quotients of the Multiplihedron as Categorified Associahedra

Stefan Forcey|ArXiv.org|Mar 18, 2008

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、多乗法体（multiplihedron）の商として生じる、新たな多面体族であるコンポジヘドラを導入する。これらは、位相的モノイドと $A_{\infty}$ 空間間の $A_{\infty}$ マップの幾何的基盤を担う。著者らは、これらのコンポジヘドラがアッソシエハエドラとは組合せ的に異なることを証明し、パラメータ $q \to 0$ の極限における多乗法体の頂点構成の極限過程を通じて、凸包実現を得た。これにより、豊かに構造化された双圏およびモノイド的双圏における擬モノイドの整合性構造における役割が確立された。

ABSTRACT

We describe a new sequence of polytopes which characterize A_infinity maps from a topological monoid to an A_infinity space. Therefore each of these polytopes is a quotient of the corresponding multiplihedron. Later term(s) in our sequence of polytopes are demonstrated not to be combinatorially equivalent to the associahedron, as was previously assumed. They are given the new collective name composihedra. We point out how these polytopes are used to parameterize compositions in the formulation of the theories of enriched bicategories and pseudomonoids in a monoidal bicategory. We present a simple algorithm for determining the extremal points in Euclidean space whose convex hull is the nth polytope in the sequence of composihedra, that is, the nth composihedron.

研究の動機と目的

• モノイド的構造間の $A_\infty$ マップをカテゴリファイする新しい多面体の列を定義すること。
• これらの新しい多面体、すなわちコンポジヘドラが、位相的および圏論的文献において長年にわたり誤って仮定されていたアッソシエハエドラと組合せ的に同値ではないことを示すこと。
• パラメータ $q \to 0$ の極限における多乗法体の頂点構成の極限を用いて、$n^{\text{th}}$ コンポジヘドラ $\mathcal{CK}(n)$ の凸包実現を提供すること。
• コンポジヘドラと豊かに構造化された双圏およびモノイド的双圏における擬モノイドの整合性構造との関係を確立すること。

提案手法

• コンポジヘドラは、ドメイン構造を厳密に結合的とすることで生じる多乗法体の商として定義される。
• 再帰的構成が提供され、各 $n$ 次元コンポジヘドラ $\mathcal{CK}(n)$ は、木の細分化に対応する積を用いて、低次元のアッソシエハエドラ $\mathcal{K}(t)$ とコンポジヘドラ $\mathcal{CK}(r_i)$ から構成される。
• パrameter化された頂点写像 $M^{w_0,\dots,w_{n-1}}_q(t)$ を用いて凸包実現が構成され、$q \to 0$ の極限がコンポジヘドラの頂点をもたらす。
• 組合せ的同値性の証明は帰納法に依拠し、凸包の頂点が正確に塗り分けられた二分木に対応すること、および各面が上位または下位の木の細分化から生じることを示す。
• 超平面の境界を用いて、凸包が有界であり、境界上にあるのは細分化された木に限ることを示し、頂点の性質を確認する。
• 既知の多乗法体の凸包実現 [13] を用い、$q \to 0$ の極限をとることで、コンポジヘドラ構造を分離する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モノイド的構造間の $A_\infty$ マップをパrameter化する多面体は、古典的なアッソシエハエドラと組合せ的に同値か？
• RQ2 多乗法体の頂点写像の極限過程を用いて、これらの新しい多面体の凸包実現が構成可能か？
• RQ3 コンポジヘドラは、豊かに構造化された双圏および擬モノイドの整合性公理において、どのように自然に生じるか？
• RQ4 コンポジヘドラの面構造と塗り分けられた二分木の細分化との正確な関係は何か？
• RQ5 パラメータ $q$ は頂点構成において果たす役割は何か？また、$q \to 0$ の極限がどのようにコンポジヘドラをもたらすのか？

主な発見

• 第 $n$ 項コンポジヘドラ $\mathcal{CK}(n)$ は、ドメインモノイドが厳密に結合的であるとき、多乗法体 $\mathcal{J}(n)$ の商として生じる。
• コンポジヘドラはアッソシエハエドラ $\mathcal{K}(n)$ とは組合せ的に異なる。これは、文献における長年の誤った仮定を否定する。
• $n^{\text{th}}$ コンポジヘドラ $\mathcal{CK}(n)$ は、$n$ 枚の葉を持つ塗り分けられた二分木 $t$ に対して、点 $M^{w_0,\dots,w_{n-1}}_0(t)$ の凸包として実現される。
• $\mathcal{CK}(n)$ の頂点は、正確に点 $M^{w_0,\dots,w_{n-1}}_0(t)$ であり、これは二分塗り分け木に対応する。
• $\mathcal{CK}(n)$ の各面は、下位木 $l(k,2)$ または上位木 $u(t;r_1,\dots,r_t)$ の細分化に対応し、その面は対応する頂点の凸包として与えられる。
• 証明により、凸包実現が再帰的複体的定義 $\mathcal{CK}(n)$ と組合せ的に同値であることが示された。帰納法と超平面の境界による議論が用いられた。