[論文レビュー] Radon inversion formulas over local fields

Jonathan Wang|arXiv (Cornell University)|Mar 13, 2015

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、局所体（実数、複素数、非アーベル体）におけるラドン変換の明示的逆変換公式を確立し、$K$-有限で有界かつ原点から離れた台を持つ滑らかな関数空間の間で、変換が同型写像であることを証明する。Mellin変換とフーリエ解析を用いて明示的な逆公式を導出し、アーベル体の場合の可逆性を解明するとともに、チェルノフの公式といった古典的結果とも関連付ける。

ABSTRACT

Let $F$ be a local field and $n\ge 2$ an integer. We study the Radon transform as an operator $M : \mathcal C_+ o \mathcal C_-$ from the space of smooth $K$-finite functions on $F^n \setminus \{0\}$ with bounded support to the space of smooth $K$-finite functions on $F^n \setminus \{0\}$ supported away from a neighborhood of $0$. These spaces naturally arise in the theory of automorphic forms. We prove that $M$ is an isomorphism and provide formulas for $M^{-1}$. In the real case, we show that when $K$-finiteness is dropped from the definitions, the analog of $M$ is not surjective.

研究の動機と目的

• 局所体 $F$ における $K$-有限な滑らかな関数空間上でのラドン変換 $M: \mathcal{C}_+ \to \mathcal{C}_-$ の可逆性を確立すること。
• 非アーベル体およびアーベル体（実数体および複素数体）の両方の状況において、逆作用素 $M^{-1}$ の明示的公式を導出すること。
• 新規の逆変換公式と古典的結果（シュワーツ関数に対するチェルノフの公式など）との関係を明確にすること。
• $K$-有限性を関数空間の定義から取り除いた場合に $M$ が全射でなくなることの証明を通じて、可逆性における $K$-有限性の本質的役割を強調すること。
• Eisenstein級数および自動形式の理論において用いられるグローバルな交換子の局所的可逆性の基盤を提供すること。

提案手法

• ラドン変換 $M$ を、$F^n \setminus \{0\}$ 上の $K$-有限 $C^\infty$ 関数で有界な台を持つ空間 $\mathcal{C}_+$ と、原点の近傍から離れた台を持つ空間 $\mathcal{C}_-$ の間の作用素として定義する。
• 実数体および複素数体の場合、フーリエ解析と斉次性を用いて、ラドン変換を $\mathbb{R}_{>0}$ 上の径数分布のMellin変換に関連付ける。
• 非アーベル体の場合、加法群上のフーリエ変換と関連づけ、$p$-進積分を用いて明示的な逆公式を導出する。
• 分布的畳み込みを用いて、$\mathcal{C}_-$ の各 $K$-型成分上で逆作用素 $M^{-1}$ が適切に定義され、連続的であることを証明する。
• 既知の積分公式およびガンマ関数の恒等式を用いて、実数体および複素数体の場合のカーネル分布のMellin変換を計算する。
• 解析接続を用いて、初期の収束領域を超えて逆変換公式を拡張し、すべての $s \in \mathbb{C}$ で（極を除き）有効であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所体（実数体および複素数体を含む）上でのラドン変換 $M: \mathcal{C}_+ \to \mathcal{C}_-$ は同型写像か？
• RQ2 非アーベル体の場合に、$M^{-1}$ の明示的逆変換公式を導出できるか。また、シュワーツ関数に対するチェルノフの公式とはどのように関係するか？
• RQ3 アーベル体の場合における逆作用素 $M^{-1}$ の構造は何か。$K$-有限性はその可逆性にどのように影響を与えるか？
• RQ4 関数空間の定義から $K$-有限性を除去した場合、$M$ の可逆性はどのように変化するか？
• RQ5 Mellin変換を用いて、実数体および複素数体の設定におけるラドン変換の逆をどのように特徴づけられるか？

主な発見

• すべての局所体 $F$（$\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$, および非アーベル体を含む）において、ラドン変換 $M: \mathcal{C}_+ \to \mathcal{C}_-$ は同型写像である。
• 非アーベル体の場合、フーリエ変換の技法を用いて $M^{-1}$ の明示的逆公式を導出し、$K$-有限性のもとでチェルノフの公式と同等であることを示した。
• 実数体の場合、$M^{-1}$ は $\mathbb{R}_{>0}$ 上の分布との畳み込みで与えられ、そのMellin変換は明示的に $\pi^{n-1}\frac{\Gamma(\frac{s+|p-q|}{2}-n+1)\Gamma(\frac{s-|p-q|}{2}-n+1)}{\Gamma(\frac{s+p+q}{2})\Gamma(\frac{s-p-q}{2}-n+1)}$ として計算される。
• 複素数体の場合、径数分布のMellin変換を用いて同様に逆作用素が特徴づけられ、実数体の場合と同じ関数的形をとる。
• $K$-有限性の仮定は本質的である：Corollary 4.7.4で示されるように、これを除去すると、$M$ の類似物は全射でなくなる。
• これらの結果は、Eisenstein級数および自動形式の理論におけるグローバルな交換子の局所的可逆性の基盤を提供する。[DW] で用いられるものと一致する。