[論文レビュー] On a strange invariant bilinear form on the space of automorphic forms

Vladimir Drinfeld, Jonathan Wang|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2015

Advanced Algebra and Geometry参考文献 17被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、$G = SL(2)$ に対して、$G(\mathbb{A})/G(F)$ 上の $K$-有限で滑らかで compactsuppored な自動形式の空間に定義される、新しい不変な双線形形式 $\mathcal{B}$ を導入し、その性質を研究する。この形式は、標準的な $L^2$-内積と、定数項および標準的交換作用素を含む補正項との差として定義される。この形式は幾何的ラングランズプログラムにおいて自然に生じ、シュไ tune のピカール・レフシェッツの振動子と関連し、古典的および幾何的自動形式論の橋渡しを果たす。

ABSTRACT

Let F be a global field and A its ring of adeles. Let G:=SL(2). We study the bilinear form B on the space of K-finite smooth compactly supported functions on G(A )/G(F) defined by the formula B (f,g):=B'(f,g)-(M^{-1}CT (f),CT (g)), where B' is the usual scalar product, CT is the constant term operator, and M is the standard intertwiner. This form is natural from the viewpoint of the geometric Langlands program. To justify this claim, we provide a dictionary between the classical and "geometric" theory of automorphic forms. We also show that the form B is related to S. Schieder's Picard-Lefschetz oscillators.

研究の動機と目的

• 数体 $F$ 上の $SL(2)$ に対して、$K$-有限で滑らかでコンパクト台付きの自動形式の空間に新しい不変双線形形式 $\mathcal{B}$ を定義し、その性質を研究すること。
• この形式と幾何的ラングランズプログラムとの関係を、関数-層の対応および奇跡的双対性を用いて確立すること。
• $\mathcal{B}$ が $l$-進層および $D$-加群の文脈において、S. Schieder のピカール・レフシェッツの振動子とどのように関係するかを明らかにすること。
• 古典的自動形式を幾何的設定に翻訳する辞書を提供し、幾何的ラングランズの視点から $\mathcal{B}$ の自然性を正当化すること。

提案手法

• $\mathcal{B}(f_1, f_2) = \mathcal{B}_{\text{naive}}(f_1, f_2) - \langle M^{-1} \operatorname{CT}(f_1), \operatorname{CT}(f_2) \rangle$ と定義する。ここで $\mathcal{B}_{\text{naive}}$ は標準的な $L^2$-内積、$\operatorname{CT}$ は定数項作用素、$M$ は標準的交換作用素である。
• $\mathcal{B}(f_1, f_2) = \mathcal{B}_{\text{naive}}(Lf_1, f_2)$ が成り立つことを示す。ここで $L$ は $\mathcal{A}_c$ 上の線形作用素で、尖点形式を固定し、アイゼンスタイン級数に対して単純な作用を持つ。
• $\mathcal{B}$ が $G(\mathbb{A})$ の作用に関して不変であることを示し、数体の場合には適切な修正を加える。
• 関数-層の対応を用いて、$\mathcal{B}$ を幾何的設定における複体 $\Delta_!\omega_{\operatorname{Bun}_G}$ と関連づける。特に、奇跡的双対性の文脈で考察する。
• $\mathcal{B}$ をシュライダーによる $\Delta_*\overline{\mathbb{Q}}_l$ 上のフロベニウス作用素のトレースの公式と結びつけ、$b(\mathcal{L}_1, \mathcal{L}_2) = b_{\text{naive}}(\mathcal{L}_1, \mathcal{L}_2) - \sum_f r(D_f)$ が成り立つことを示す。
• $\mathcal{P}^\text{\textendash} \text{Id}$ の逆関手 $((\operatorname{Ps-Id})_{\operatorname{Bun}_G,!})^{-1}$ が、強化されたアイゼンスタイン-定数項随伴の余単位 $\epsilon$ のシフトされたコーンに同型である、すなわち $((\operatorname{Ps-Id})_{\operatorname{Bun}_G,!})^{-1} \cong \operatorname{Cone}(\epsilon)[2d]$ であると予想する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定数項と交換作用素を用いて、ナーブな $L^2$-内積を補正する自然な不変双線形形式を、自動形式上でどのように構成できるか。
• RQ2 この双線形形式の幾何的ラングランズ的解釈は何か。$D$-加群および奇跡的双対性とどのように関係するか。
• RQ3 この双線形形式は、$\operatorname{Bun}_G \times \operatorname{Bun}_G$ 上の $l$-進層の文脈において、S. Schieder のピカール・レフシェッツの振動子とどのように関係するか。
• RQ4 $\mathcal{B}$ を実現する作用素 $L$ は、$D$-加群の文脈における $\text{Ps-Id}$ 関手の逆の幾何的類似物として理解できるか。
• RQ5 この形式 $\mathcal{B}$ を、幾何的ラングランズフレームワーク内での導来関手として実現する、明確な圏同値関係は存在するか。

主な発見

• $\mathcal{B}$ は $G(\mathbb{A})$ の作用に関して不変であり、数体の場合には修正された不変性条件を満たす。また、ハール測度の選び方によらずスカラー倍の違いを除いて不変である。
• $\mathcal{B}$ は $\mathcal{B}(f_1, f_2) = \mathcal{B}_{\text{naive}}(Lf_1, f_2)$ として実現され、ここで $L$ は尖点形式に対して恒等的に作用し、アイゼンスタイン級数に対して単純な作用を持つ。
• $\mathcal{B}$ の補正項は、$\Delta_*$-複体上のフロベニウス作用素のトレースに対応し、シュライダーは $b(\mathcal{L}_1, \mathcal{L}_2) = b_{\text{naive}}(\mathcal{L}_1, \mathcal{L}_2) - \sum_f r(D_f)$ と計算している。
• $\mathcal{B}$ は幾何的ラングランズプログラムと深く関係しており、特に関数-層の対応および $\operatorname{D-mod}(\operatorname{Bun}_G)$ の奇跡的双対性の理論を通じて関連している。
• 本稿では、 perverse 層の圏上の $\mathcal{P}^\text{\textendash} \text{Id}$ 関手の逆が、強化されたアイゼンスタイン-定数項随伴の余単位のシフトされたコーンに同型である、すなわち $((\operatorname{Ps-Id})_{\operatorname{Bun}_G,!})^{-1} \cong \operatorname{Cone}(\epsilon)[2d]$ であると予想している。
• $\mathcal{B}$ の構成は、特に強化されたアイゼンスタインおよび定数項関手を含む、幾何的ラングランズプログラムにおける圏論的構造の古典的類似を提供する。