[論文レビュー] Random attractors for 2D and 3D stochastic convective Brinkman-Forchheimer equations in some unbounded domains

Kush Kinra, Manil T. Mohan|arXiv (Cornell University)|Oct 17, 2020

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ひとこと要約

本稿は、非有界Poincaré領域における不規則な加法的ノイズを伴う2次元および3次元の確率的対流Brinkman-Forchheimer方程式に対して、確率的吸引子および不変測度の存在を確立する。Faedo-Galerkin近似およびCameron-Martin空間技法を用いて、エネルギー等式と漸近的コンパクト性を証明し、$ d=2 $、$ r\in[1,\infty) $、および $ d=3 $、$ r\in[3,\infty) $ に対して確率的吸引子が存在することを示した。$ r>3 $ の場合には、より強いノイズの正則性が要求される。結果は、ストークス作用素に関する修正仮定を用いることで、一般の非有界領域へと拡張可能である。

ABSTRACT

In this work, we consider the two and three-dimensional stochastic convective Brinkman-Forchheimer (2D and 3D SCBF) equations driven by irregular additive white noise $$\mathrm{d}\boldsymbol{u}-[μΔ\boldsymbol{u}-(\boldsymbol{u}\cdot abla)\boldsymbol{u}-α\boldsymbol{u}-β|\boldsymbol{u}|^{r-1}\boldsymbol{u}- abla p]\mathrm{d} t=\boldsymbol{f}\mathrm{d} t+\mathrm{d}\mathrm{W},\ abla\cdot\boldsymbol{u}=0,$$ for $r\in[1,\infty),$ $μ,α,β>0$ in unbounded domains (like Poincaré domains) $\mathcal{O}\subset\mathbb{R}^d$ ($d=2,3$) where $\mathrm{W}(\cdot)$ is a Hilbert space valued Wiener process on some given filtered probability space, and discuss the asymptotic behavior of its solution. For $d=2$ with $r\in[1,\infty)$ and $d=3$ with $r\in[3,\infty)$ (for $d=r=3$ with $2βμ\geq 1$), we first prove the existence and uniqueness of a weak solution (in the analytic sense) satisfying the energy equality for SCBF equations driven by an irregular additive white noise in Poincaré domains by using a Faedo-Galerkin approximation technique. Since the energy equality for SCBF equations is not immediate, we construct a sequence which converges in Lebesgue and Sobolev spaces simultaneously and it helps us to demonstrate the energy equality. Then, we establish the existence of random attractors for the stochastic flow generated by the SCBF equations. One of the technical difficulties connected with the irregular white noise is overcome with the help of the corresponding Cameron-Martin space (or Reproducing Kernel Hilbert space). Finally, we address the existence of a unique invariant measure for 2D and 3D SCBF equations defined on Poincaré domains (bounded or unbounded). Moreover, we provide a remark on the extension of the above mentioned results to general unbounded domains also.

研究の動機と目的

• 非有界領域における不規則な加法的ノイズを伴う確率的対流Brinkman-Forchheimer（SCBF）方程式の長時間挙動を解析すること。
• Faedo-Galerkin近似を用いて、Poincaré領域においてエネルギー等式を満たす弱解の存在および一意性を確立すること。
• 次元および非線形性指数 $ r $ に関する特定の条件下で、SCBF方程式が生成する確率的フローに対して確率的吸引子の存在を証明すること。
• 2次元および3次元SCBF方程式に対して、一意な不変測度の存在、およびその遍歴性と強い混合性の性質を調査すること。
• ストークス作用素に関する仮定を修正し、$ \mathrm{A}^{-\delta} $ の代わりに $ (1+\mathrm{A})^{-\delta} $ を用いることで、結果を一般の非有界領域へと拡張すること。

提案手法

• 不規則なノイズを伴うSCBF方程式に対して、Lebesgue空間およびSobolev空間における収束を示すFaedo-Galerkin近似を用いて、エネルギー等式の証明を可能にする。
• 再生核ヒルベルト空間（Cameron-Martin空間）を用いて、確率的項における不規則な白色ノイズの不規則性を扱う。
• 伊藤積分の計算および伊藤等式を用いてエネルギー推定を行い、$ \mathbb{H} $ および $ \mathbb{V} $ 空間における解の事前評価を得る。
• 一様な有界性および収束の議論を用いて、漸近的コンパクト性を確立し、確率的吸引子の存在を証明するために不可欠な性質を得る。
• グロワールドの不等式を適用して、解の差の指数的減衰推定を得ることで、パスワイズの一意性および安定性を保証する。
• ストークス作用素に関する仮定を修正し、$ \mathrm{A}^{-\delta} $ の代わりに $ (1+\mathrm{A})^{-\delta} $ を用いることで、一般の非有界領域への結果の拡張を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非有界Poincaré領域における2次元および3次元の確率的対流Brinkman-Forchheimer方程式に対して、次元 $ d $ および非線形性指数 $ r $ がどのような条件下で確率的吸引子が存在するか。
• RQ2 標準的な正則性が欠如する不規則な加法的ノイズを伴うSCBF方程式に対して、エネルギー等式をどのように厳密に確立できるか。
• RQ3 2次元Navier-Stokes方程式と比較して、$ d=2, r\in(3,\infty) $ および $ d=3, r>3 $ の場合に、確率的吸引子の存在を保証するために必要なノイズの空間的正則性はどの程度か。
• RQ4 Darcy係数 $ \alpha>0 $ の存在が、一般の非有界領域または全空間への結果の拡張を可能にするか。
• RQ5 一意な不変測度の存在を保証する条件は何か。また、その測度は遍歴的かつ強く混合的か。

主な発見

• Poincaré領域において、$ d=2 $、$ r\in[1,\infty) $、および $ d=3 $、$ r\in[3,\infty) $、さらに $ r=3 $ のとき $ 2\beta\mu\geq 1 $ を満たす場合、SCBF方程式はエネルギー等式を満たす一意な弱解を有する。
• 指定された条件下で、漸近的コンパクト性および吸引性の性質を用いて、$ d=2 $、$ r\in[1,\infty) $、および $ d=3 $、$ r\in[3,\infty) $ に対して確率的吸引子の存在が証明された。
• 2次元Navier-Stokes方程式と同様のノイズ正則性が、$ d=2 $、$ r\in[1,3] $、および $ d=r=3 $ で $ 2\beta\mu\geq 1 $ の場合に必要であるが、$ r>3 $ の場合にはより強い正則性が必要となる。
• 2次元および3次元SCBF方程式に対して、Poincaré領域上に一意な不変測度が存在し、その測度は遍歴的かつ強く混合的である。
• 仮定における $ \mathrm{A}^{-\delta} $ を $ (1+\mathrm{A})^{-\delta} $ に置き換えることで、一般の非有界領域への結果の拡張が可能である。また、$ \mathbb{V} $ 空間におけるノルムも適切に調整する必要がある。
• エネルギー等式の証明は、Lebesgue空間およびSobolev空間の両方で収束する列の構成に依存しており、不規則なノイズによる標準的正則性の欠如を克服している。