[論文レビュー] Random Orderings and Unique Ergodicity of Automorphism Groups

Omer Angel, Alexander S. Kechris+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2012

Advanced Topology and Set Theory参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、有限グラフ、$K_n$-自由グラフ、$r$-一様超グラフ、および距離が $\mathbb{R}^+$ の加法的部分半群に値をとる距離空間に対して、一貫した確率的順序付けとして唯一可能なのは一様確率的順序付けであることを確立している。この結果は、ランダムグラフの自己同型群の唯一のエルゴドリシティを示し、GlasnerとWeissの例を超えて、非コンパクトかつ極めて可解でない唯一のエルゴドリックな群のクラスを初めて提供する。

ABSTRACT

We show that the only random orderings of finite graphs that are invariant under isomorphism and induced subgraph are the uniform random orderings. We show how this implies the unique ergodicity of the automorphism group of the random graph. We give similar theorems for other structures, including, for example, metric spaces. These give the first examples of uniquely ergodic groups, other than compact groups and extremely amenable groups, after Glasner and Weiss's example of the group of all permutations of the integers. We also contrast these results to those for certain special classes of graphs and metric spaces in which such random orderings can be found that are not uniform.

研究の動機と目的

• 有限構造（グラフ、超グラフ、距離空間など）における一貫した確率的順序付けが、必然的に一様であるかどうかを特定すること。
• このような確率的順序付けが自己同型群の唯一のエルゴドリシティに与える影響を調査すること。
• コンパクトまたは極めて可解な群を超えて、唯一のエルゴドリシティを示す新しいポーランド群のクラスを同定すること。
• 制限付きのグラフや距離空間のクラス（例：有界次数のグラフやユークリッド距離空間）において、非一様な一貫した確率的順序付けが存在するかを探索すること。
• サイズが $n$ 以下の有限構造における非一様順序付けと一様順序付けの全変動距離に対する定量的評価を確立すること。

提案手法

• 一貫した確率的順序付けを、有限構造 $G$ の頂点集合の線形順序上の確率測度 $\mu_G$ の族として定義し、同型不変性および制限の一貫性を満たすものとする。
• ラムゼー性および拡張性の性質を用いたモデル理論的・組合せ的技法を用い、このような順序付けの構造を分析する。
• Fra€ssé極限および普遍的最小フローの理論を用い、一貫した確率的順序付けを力学系における不変測度と関連付ける。
• Leonard Schulmanが提案したランダム射影法を用い、有界次数のグラフやユークリッド距離空間などのクラスにおいて非一様な一貫した順序付けを構成する。
• 特に $r$-一様超グラフに対して、確率的および極値的組合せ論的議論を用いて全変動距離の定量的評価を導出する。
• 許容順序付けの空間上での測度 $\mu(N_{{\boldsymbol{A}},<}) = \frac{1}{k({\boldsymbol{A}})}$ の一様性を用い、不変測度の一意性を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての有限グラフのクラスに対して、一様確率的順序付けが一貫した確率的順序付けの唯一のものであるか。
• RQ2 有界次数のグラフやユークリッド距離空間などの特定の制限付きクラスにおいて、非一様な一貫した確率的順序付けが存在するか。
• RQ3 一貫した確率的順序付けの存在が、Fra€ssé極限の自己同型群の唯一のエルゴドリシティを示すか。
• RQ4 サイズが $n$ 以下の有限構造において、非一様順序付けと一様順序付けとの間の最大全変動距離は何か。
• RQ5 Fra€ssé構造の可解な自己同型群の普遍的最小フローにおける唯一の不変測度は、常に許容順序付け上の一様測度であるか。

主な発見

• すべての有限グラフ、$K_n$-自由グラフ、$r$-一様超グラフ、および距離が $\mathbb{R}^+$ の固定された加法的部分半群に値をとる距離空間に対して、一貫した確率的順序付けとして唯一可能なのは一様確率的順序付けである。
• この結果は、ランダムグラフの自己同型群の唯一のエルゴドリシティを示し、GlasnerとWeissの例を超えて、非コンパクトかつ極めて可解でない唯一のエルゴドリックなポーランド群の最初の例を提供する。
• サイズが $n$ 以下の $r$-一様超グラフに対して、任意の一貫した確率的順序付けと一様順序付けとの間の全変動距離は、ある定数 $C = C(k,r)$ を用いて $C\sqrt{\frac{\log n}{n^{r-1}}}$ で有界である。
• グラフの場合、ある構成により、一部の部分グラフ上で一様順序付けからの全変動距離が少なくとも $C/n$ である一貫した確率的順序付けが得られる。
• 有界次数のグラフやユークリッド距離空間などのクラスにおいて、非一様な一貫した確率的順序付けは、ランダム射影法を用いて構成可能である。
• 可解な自己同型群のFra€ssé構造の普遍的最小フローにおける唯一の不変測度は、許容順序付け上の一様測度であると予想されており、すべての既知の事例で成り立つ。